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avait des racines égales, contrairement à l’hypothèse que nous avons faite.

Formation de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations à deux inconnues. Nouvelle démonstration du théorème de Bézout. Somme des racines de l'équation finale.

269. La méthode que nous venons d'exposer permet de former autant de termes que l’on veut de l’équation finale qui résulte de l’élimination d’une inconnue entre deux équations. Soient les deux équations générales

Mia 0 û LA EONEE RUE 0 des degrés m et n respectivement; en réunissant les

termes de même degré, on pourra les écrire de la manière suivante :

am f (2) A Cd (2) LS (2) +..,—=0,

x" r(2) + ati F, (2) ue xt—2 F, (2) roi 0.

2e VE TZ

3 Îis fa; --. sont des polynômes respectivement des degrés m,m—1,m—,...; F,F,,K:, ..., des polynômes des degrés n, n—1,n—9,....

Soient Yy, 25 +. Ym les valeurs de y tirées de la première des équations (1); portons-les dans le premier membre de la seconde, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, de manière que l’on ait

(3) MEN Dan Tale IN (ee Frs l’équation finale qui résulte de l'élimination de y sera V = o.

On calculera aisément la fonction V, en développant en série, suivant les puissances décroissantes de x, chacun

de ses facteurs, dont l'expression générale est N (x, y).

Je dis même que, si l’on ne veut connaître que le premier

terme de V, il suffit de borner les séries dont nous par-

u lons à leur premier terme; que, si l’on ne veut que les deux premiers termes de V, il suffit de connaître les deux :

premiers termes des séries, et ainsi de suite. Supposons, par exemple, qu’on ne veuille connaître

que le premier terme de V; on a, en faisant comme pré-

cédemment u — LE À 4e

N LA Jr) Ci US + Fu) +. .… Posons aussi, comme plus haut, Ua + 6;

, . # . ] L2 € étant une quantité qui s’annule avec —, et x une racine Es #4

quelconque de l'équation

on aura

ou (4) N(x,Y)=2"Fie)cti?r,

Se Sécu 1 R E désignant une quantité qui s’annule avec -+ D’après DA

cela, en représentant par

CAT XD » ..., X mn.

SECTION II. — CHAPITRE V. 619 les m valeurs de >, on aura

KR EN 2" F(a) + x"'Es, Ni Ye) sg te (æ) + x'E,,

E,, E, ..., E, désignant des quantités qui s’évanouissent 1 pe , . . , D] 9 LL

avec —: S1 l’on multiplie ces équations et que l’on ait TL

égard à l'équation (3), il viendra

loù M'A SPAS HE Etant c'ONE,

AA AT I H désignant une quantité qui s’annule avec —q q

Le premier terme de V est donc cle) Eee RE) ;

on pourra l’exprimer en fonction rationnelle des coefficients de F et f, puisque F(x;) F(æ>)...F(«») est une

fonction symétrique et entière des racines de l'équation ele 0.

Il suit de là que l'équation finale qui résulte de l’élimination de y entre les équations (1) et (2) est d’un degré égal au produit des degrés de ces équations.

Remarque. — Si les coefficients des équations (r) ont des valeurs déterminées, et que ces équations contiennent la plus haute puissance de y, l'équation finale résultant de l’élimination de y sera toujours V —o, et l’on voit que le degré de cette équation finale sera encore égal au produit des degrés des équations proposées, à moins que les équations

n'aient une ou plusieurs racines communes, auquel cas ce degré s’abaissera nécessairement.

270. Pour avoir les deux premiers termes de l’équation finale V — 0, il faut connaître les deux premiers termes du développement de N{x, y) en série. Pour cela, dans l'équation

Nfr = at El) Het RG EEE

nous poserons / /

(64 € UNIS EEE TX TL n , Û Ar . CE . ï s désignant toujours une quantité qui s’évanouit avec —- 7” 4 une racine de loto; et 4 une quantité que nous avons calculée, et qui est déterminée par l'équation a f'(a)+ fi (x) =0; on aura alors N(x, J) LAN TE rie F'{a) + FE, (æ)] + ACTE,

+É de AT I E désignant une quantité qui s’annule avec —- Cette forg q q

mule donne le développement de N{x, y), bornée aux deux premiers termes; en y remplaçant & par chacune de ses m valeurs, on aura

Nr, Pi) = rt Fo) Hi [os F'(o) + File) PrratEs Ni, J2) —x"F (a) LS AR AR F'{œ3) ne F, (æ2)] +araiEs,

Dans ces équations, E,, E:, ... sont des quantités qui

2 S I ! U s’évanouissent avec -» et æ&,, æ,, ... sont les valeurs TI