EL6)E
A (a ie]
En égalant entre elles ces deux valeurs de La on obtient
ae STE 1 | F'(a)F
les sommes du ou membre étant relatives aux racines & de f(x)— 0, celles du second aux racines 6 de F(6)— 0. Dans cette formule, qui exprime un théorème d'Analyse, f et F désignent des polynômes quelconques, qui n’ont pas de racines égales, n1 de racines communes; J1 etF, désignent aussi des polynômes quelcenques, mais
de degrés respectivement moindres que f'et F. Supposons que le polynôme F soit égal à fi, et que F,
soit identiquement nul; l’équation précédente se ré-
duit à FRE 1e F (4) te = 2:18)
ou même à
SECTION II. — CHAPITRE V. Gr
puisque chaque terme du second membre est nul, le
signe Ÿ étant relatif aux racines de Hiqie o. Dans
l'équation précédente, le signe Ÿ s'étend aux racines
a de f(x) — 0, et F’ désigne la dérivée d’un polynôme quelconque F de degré inférieur à f'; par conséquent, F’ est un polynôme quelconque de degré inférieur à f”. La formule précédente résulte aussi, comme nous l’avons vu, de celle qui donne la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Développements, en séries ordonnées suivant les puissances décroissantes de la variable, de plusieurs fonctions algébriques définies par autant d'équalions.
272. L'analyse que nous venons de développer peut être aisément généralisée, et étendue au cas d’un nombre quelconque d'équations.
Soient
(1) Mir she o nN(e :»; 20
deux équations générales des degrés metnrespectivement entre les trois variables x, y, z ; la première x étant considérée comme indépendante, les deux autres y et z en seront des fonctions. En réumissant les termes de même degré, les équations (1) pourront s’écrire de la manière suivante :
mn f(2 La f, (2 =)+...=o SAS 5 #7 (2) | | 14 à MA } Z LA LLE 0ù (2 à Ce HAT One F, (2 a | = 10 CA x x )
ou, en posant —\U, : — ÿ, (3) CE DT p}+ at fu, pro LAPS v)+attF{u, p.270;
f et F sont des polynômes des degrés m et n respectivement, entre les variables w et v; f, et F, sont respectivement des degrés m—1 et 2— 1, et ainsi des autres.
En vertu des résultats précédemment obtenus, le nombre des solutions communes (4, ) aux équations (3) est mn, ainsi que le nombre des solutions communes (æ, 6) aux équations
(4) WG EVE 0 EN RS ne
et les mn systèmes de solutions communes des équations (3) se réduiront, pour x —® , aux nn systèmes de solutions communes des équations (4). On pourra donc poser généralement
15 uU—a+E, Pr—6+n,
A ru , I e et n désignant des quantités qui s’annulentavec -+ Ces
quantités sont d’ailleurs les restes des séries dans lesquelles w ets se développent quand on borne ces séries à leur premier terme. Pour calculer les limites des produits ex, nx, nous suivrons la même marche qu’au n°268. En portant dans les équations (3) les valeurs de et », urées de(5), etayant égard aux équations (4), on a ne ( of D
= Hans] +Hat if fi(a, 6)+...]+...—=0, 9x 95
OF OF n —— ——— .. n—1 = A ( dx + n Jet ) + x [Filc, 6) A en o,
En divisant ces équations respectivement par 2772001
SECTION II. — CHAPITRE V. 623 xæ"71, faisant ensuite x — , et posant
a liner 6 = mie
on obtient bts HETEC (6) OF oF | +6 — +F, —0o;:
d'A RME.
d’où l’on ire les valeurs suivantes de w/ et 6! :
Fr, % 0F
ea Fi Je 08
Me OF No ol F OF ?
da # 95 dx
: Of
Pre
AE sata : RE Of ji Of OF Ja 08 dédx
. En désignant par e” et! de nouvelles quantités infiniment etites avec —; on pourra poser P ps P E rx tte", 127 —=6 +, et, par suite,
(e4 € n A —a+-+—-)s v—6G<+ — + —; TC TC œ ‘a
on
on aura ainsi les deux premiers termes des séries dans lesquelles uw et », ou y et z, peuvent se développer, et l’on voit aisément qu'on pourra, de la même manière, obtenir les termes suivants.
Cette méthode s'applique, quel que soit um, au cas de u — 1 équalions entre p variables, pourvu qu’on écarte, comme nous l'avons fait jusqu’ici, en raisonnant sur des équations générales, quelques cas particuliers qui peuvent se présenter,
Formation de l'équation finale qui résulte de l’élimination de deux, trois, etc., inconnues entre trois, quatre, elc., équations. Nouvelle démonstration du théorème de Bézout. Somme des racines de l’équation finale.
273. On peut, par l'analyse précédente, former autant de termes que l’on veut de l’équation finale qui résulte de l'élimination de deux, trois, etc., inconnues entre trois, quatre, etc., équations.
Soient, par exemple, les trois équations générales
Go M Er, ie) = ON EN) = 0 RP ee
des degrés m, n, p respectivement, entre trois inconnues x, Y, z; en réunissant les termes de même degré, ces équations seront
\ z a" f S ) AE HTRRITE, (r, :) au nn Re l | LT X TX
er (2 }+air, ( =) +0, HF Up WE
AQU CV MOET XP e :) + zP—to (2, 2 HIER TL TL va TX
f, Fet 9 sont des polynômes des degrés m, n, p respectivement, par rapport aux deux variables qu'ils renferment; f1, F1, 91 sont respectivement des degrés m—1, n—1, p—1, et ainsi de suite.
CRE
Désignons par
(Y1 2): Lys Ze), nne1e/s ÉErr 2e)
les mn systèmes de solutions communes aux deux premières des équations (1), et posons
V 1, (æ, PAT z1) 12. (æ Ja z2) GR P{, J'inn) nai
l'équation finale résultant de l’élimination de > et z entre les équations (1) sera
