NE

et c’est cette équation qu'il s’agit de calculer. On y parviendra en développant en série chacun des facteurs P(x,y, z) de V, etil suffira de connaître autant de termes du développementde P qu’on en veut avoir dans V. Nous nous bornerons 1c1, comme nous l’avons fait dans le cas de deux équations, à calculer les deux premiers termes de V, ce qui suffit pour connaître le degré et la somme des racines de léquation finale.

On a, en faisant, comme précédemment, ? EN Etes

8 | ta

P(x,y,z)—=zxro{u,v)+zxP-teilu,v)+..., et, si l’on pose u—a+e, v—6+ nn,

il vient Pire z) — aPy(x, 6)+xPE,

E s’annulant avec —; ainsi que € et n. En mettant dans

l'équation précédente, à la place de x et y, leurs mn valeurs, 1l vient

P(x, Ji a)=2/q(e, 6) +? Ei, P{r, Ye, 2) = rPo{us, 62) + x? Es,

AUS RAS Le lee jolacel ee ;n1.8) Fan € 0. + © $

Le (æ, Ymn Bnn = Ho lin: Gin) + 4e ET SE E,,E»,..…., Enn étant des quantités infiniment petites avec I ANUS ; ;

-. Enfin, en multipliant toutes ces équations, on a la Ur 4

valeur suivante de V:

— Inn RE) Er Mo mnp TJ Mare g (æ, 91 } P(X2 GEAR Ja; er 6hn) Du ME AN

S.— Alg, sup., à. 4o

CÇaf COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

\ Là > Là 2 = I où H désigne une quantité qui s annule avec —. Le pre-

mier terme de V est donc

LD 0er: 6:). E P(&mn Gale

Il suit de là que le degré de l’équation finale qui résulte de l'élimination de y et z entre les trois équations (1) est égal au produit des degrés de ces équations, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème de Bézout.

Si l’on veut obtenirles deux premiers termes de l’équaüon finale V = 0, il est nécessaire de calculer les deux premiers termes du développement de P(x,7, z) en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. Pour cela, dans l’équation

P(x 7, 2) pou Ne) Rare ET NES

nous poserons

œ € LR PA A 6 É P—6G + — + —-) T TL

e! et désignant toujours des quantités qui s’évanouissent I ! / La , 2 2 Q 1 , avec —: æ« et 6’ des quantités déterminées par les équa-

tions

FO AA data Vos

,0F , dF PALANT

œ + fi =0,

La valeur de P{x, y, z) pourra alors s’écrire de la manière suivante :

DRE) = rRo Ne |

AA ER 0 AE + x? LE si ee vlc, 5) |+ar 1E,

SECTION II. — CHAPITRE V. 627 A . , . I en désignant par E une quantité qui s’annule avec —: on Er} aura donc ACT J'1 NES pla, 61)

0) ; + xP—1 E . +6, F + 9: (œ, | APR,

PE Pmnr mn) =" (arm êmn)

Ô 10 FE aire Es Fra On je (mm nr) | SE TA D > Xmn mn

, 0 . , 0 Dansces équations nous avons mis, pourabréger, Ain Dee

Da, 6 ' ! | ABLE à la place de Fate RE ANA AC désignent les &

valeurs de # qui correspondent aux valeurs &,, œ», ... de «; enfin, E,, E, ... sont des quantités infiniment

I HT petites avec —: En multipliant toutes ces équations, on TL

aura la valeur suivante de V:

Ne xaer p(œ, 61) p(&s, 62) AR, p(&mn Cr)

A d. AE à + gif, 6) + xnnp—1 pla, 61)... DA mn) ù p(z, 6)

"it annp—1 H, « | pe: > , S 9 I 1 où H désigne une quantité qui s annule avec —; et où le à n , 1 signe s'étend à toutes les solutions communes (x, 6) des deux équations