OP NA

En remplaçant, dans cette formule, a! et 6° par leurs

valeurs écrites plus haut, et en faisant, pour abréger,

RU 0 J ÔF AR Autor 08 qe .0p0f df de

Ba GE Sue Of0F OdFof GRR SES AE dr

on aura cette expression

\ si (e 5) = AE 6) + F,(x, 6) B(«,6) CE — EE

vs px, ga, 6) (æ, 6) C(«, 6)

où les sommes du second membre sont relatives à tous les

systèmes de solutions communes aux deux équations

JAM T0 der Un Fais

Le calcul des deux premiers termes de l'équation finale, qui résulterait de l'élimination de u— 1 inconnues entre m équations, n'offrira pas plus de difficulté, quel que soit p, que dans les deux cas particuliers qui ont été développés ; la marche à suivre est toujours la même, et l’on peut considérer comme générale la nouvelle démonstration que nous avons donnée du théorème de Bézout pour les cas de deux et de trois équations

Démonstration d’une formule de Jacobit.

274. Pour obtenir l'équation finale V — 0, nous avons porté, dans la troisième des équations données, les valeurs

de y et de z, tirées des deux premières ; mais On aurait pu opérer de deux autres manières différentes : par exemple, en portant dans la première équation les valeurs de y et de z, tirées des deux dernières, on aurait obtenu une

expression différente de ÿ x, qui peut évidemment être

tirée de celle déjà trouvée, en changeant l’une en l’autre

M Hietgi 2 0n adonc

Ÿ a De à) -Vitr 8) B (y; 9) + (y; 9) (7: 9), JV FAT: 20)

mais ici les sommes qui figurent dans le second membre

sont relatives aux solutions communes des équations

F(+, DE 0, el: Di 0;

Egalons les deux valeurs trouvées pour Ÿ x, et suppo-

sons que les polynômes F, et f, soient identiquement nuls; on aura

DEEE pily: 2) C(y. d)

pla, 6) Zfly 2)A(7, 8)

en se rappelant que le signe \ s'étend, dans le premier cmd

membre, aux solutions communes de f(x, 6) —0 F(2, 6)— 0, et, dans le second membre, aux solutions communes de F(7,d)=— 0, o(y, d)— 0. On peut, dans cette formule, considérer les polynômes f, F eto comme absolument arbitraires; et, quant au polynôme 0:, il n’est assujetti, par notre analyse, qu’à la seule condition être d’un degré inférieur à celui de 9. Supposons

pla, 8) —C{x, 6);

la somme du second membre de l'équation précédente

sera alors relative aux solutions communes des deux équalions Fr, 9)=0, G(y, 8) —o,

et, par conséquent, chacun de ses termes sera identiquement nul. On aura donc

D ére—°

ou PAT) 2 Ares 5 AFOE NO 0e dx 06 da 06

le signe » s'étendant aux solutions communes des deux

équations ha io dEix 620;

Cette formule remarquable, où 9, désigne un polynôme

sale PUR : : 9f 90F OF 0f quelconque de degré inférieur à celui de Je D 0e est l'extension de celle que nous avons démontrée au n° 217 et que nous avons rencontrée de nouveau au n° 271. Elle a été démontrée pour la première fois par Jacobi, et Liouville y a été conduit naturellement, comme nous venons de le faire voir, dans ses recherches

sur l'élimination.

Application de la théorie précedente à une question de Géometrie.

975. Liouville a déduit des résultats qui précèdent la démonstration d’un théorème curieux de Géométrie que nous allons présenter 1C1 :

TuéoriMmEe. — S1 l’on mène à une courbe algébrique la série des tangentes parallèles à une direction donnée,

le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant de cette direction.

Soit MU ET 0 l'équation d’une courbe algébrique; les coordonnées réelles ou imaginaires des points de contact de cette courbe avec les tangentes parallèles à la droite y = ax

seront les solutions communes aux deux équations oM oM (1) MS OR 4 0:

0x ÔY

Si l’on pose > — u, et qu'on représente la courbe par F4

l'équation o(x, u) = 0, les coordonnées x et uw seront les solutions communes aux deux équations

don Na 410 8 1 RTE 2. NARP 5e

Soit donc, conformément aux notations du n° 268,