HERVE EN

D Ne eu) er et Jilad) 1."

fs frs +, désignant des polynômes des degrés m, T—1,...3; ON aura

Ô QUE mat flu) + (m—i)x"2 filu) +..., Ôx : — AC O2 Le A UT AU) has u

et, par suite,

dv a u 9 n—A\ y m— ER + grrr — == Æ Ce ee 2F ere Se UN. a F(u) + x lu)

en faisant, pour abréger, Fiu)=mflu) +{(a—u)f'{u), (2) Fifu)={(m—i)filu)+(a—u)f(u),

Fu), F;(u),... sont des polynômes des degrés m—1, m—2,...; Car, dans F(u) par exemple, les deux termes du degré le plus élevé, qui proviennent de mf{u) et de (a—u) f'(u), se détruisent évidemment; et la même chose a lieu pour F,(u),....

L'équation finale qui résulte de l'élimination de y entre les équations (1) est la même que celle qui résulte de l'élimination de u entre

x f(u) ns am A1 fl (u) és 20, LORIE RS ET RÉEL EEE 0e

Si donc on désigne par Ÿ x la somme des racines de

l'équation finale, on aura (n° 269)

ÿ---prtntl

le signe Ÿ s'étendant dans le second membre aux racines

de l'équation

fa) = 0 et & élant une quantité déterminée par l'équation

a f'(a) +fila) = 0.

Pour avoir l'expression de Ÿ x en fonction des quanél

uités données f, f,, ..., différentions la première de: équations (2); on aura

(8) F{u)=(m—i)f{u)+(a—u) fu) Les équations (2) et (3) donnent ensuite

œ'EÂœ) + Fix) —(m—1)[a f'{x) + filæ)] +(a—a)[e fe) + fi(x)],

nv :

ns L] +»

ou, comme la quantité & f'(a) + f,(x) est nulle, (4) a'F'(a)+ Fifa) —={(a—a)[ax f(x ) + fe TR

On aura aussi, en faisant u — « dans la première des équations (2), et en remarquant que f(æ) est nulle,

Des équations (4) et (d) on tire

aF(a)+ Fe) __ a fa) +fi(e), F(x) J'(a) k

par suite, la valeur de De est

De

et l’on voit qu’elle est ER de a. La somme des distances à l’axe des y des points de contact de notre

courbe avec les tangentes parallèles à la direction donnée

est donc indépendante de cette direction; ce qui dé-

montre le théorème énoncé, car l’axe des y est une droite quelconque située dans le plan.

La démonstration précédente semble en défaut lorsque l'équation f(x) = o a des racines égales; pour montrer que les conclusions sont cependant exactes dans ce cas, on peut employer un raisonnement dont nous avons déjà fait usage. Il suffira de changer infiniment peu les coefficients de f, de manière que f(4)— 0 n'ait plus de racines égales, et de supposer ensuite ces changements nuls : on aura une courbe infiniment peu différente de la proposée, et pour laquelle le théorème aura lieu ; d’où l'on peut conclure qu'ila lieu, à la limite, pour la courbe proposée elle-même.