Le théorème précédent conduit à quelques con
séquences intéressantes. Désignons toujours par à x la
somme des abscisses des points de contact d’une courbe algébrique avec les tangentes qui font l’angle w avec la direction des x positives, et faisons varier w de sa diffé-
rentielle do; comme Ÿ x ne dépend pas de cet angle,
Ÿ do.
Mais, en désignant par ds l’arc infiniment petit qui a pour projection dx, on a dx = ds cosw; par suite,
ds ds COS® — 0, ou — —=0;
du
on aura
; ds puisque cosw et do sont constants, 7 est la valeur du Œu
rayon de courbure p; on aura donc
re
les rayons p étant pris avec un signe convenable ; on aura
dp ; — —=0O ou ——0 do É Ÿ p ;
p' désignant le rayon de courbure de la développée, et
aussi
ainsi de suite.
En outre, si £ et v représentent les coordonnées du centre de courbure correspondant au point (x, y),ona
T—ËE—pSMo, Y= Vv—+pCosw;
donc, en ayant égard aux formules précédentes, on a
De-3e 3-3
encore
SECTION If. — CHAPITRE V. 635
c'est-à-dire que le centre des moyennes distances des points de contact d’une courbe algébrique avec la série des tangentes parallèles à une même direction est le même que le centre des moyennes distances des centres de courbure correspondants.
277. Liouville a également donné dans son Mémoire la démonstration du théorème suivant, qui est analogue au précédent :
Tuéorème. — Si l’on mène à une surface algébrique la série des plans tangents parallèles à deux directions fixes, le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant des deux directions données.
SI
Meyer) 20
est l'équation d’une surface algébrique, les coordonnées des points de contact de cette surface avec les plans tan- gents parallèles au plan qui a pour équation
z2—=ax + by seront données par les trois équations
ÔM 0M JM, M
PME AT 0 dy ÉS
M—o, I suffit, pour établir le théorème qui vient d’être énoncé, de calculer la somme des racines de l’équation finale qui résulte de l’élimination de deux inconnues entre les trois équations précédentes. En suivant la marche que nous avons tracée, on trouvera que cette somme est indépendante de a et de b. Ce calcul ne présentant aucune difficulté, nous nous dispenserons de le présenter 1c1, et nous renverrons, pour plus de détails, au Mémoire de Liouville. On y trouvera, du reste, un grand nombre
de conséquences intéressantes que nous ne pourrions développer sans sortir des limites que nous nous sommes imposées.
Sur l’elimination d’une inconnue entre deux équations dont les coefficients ont des valeurs particulières quelconques.
278. Nous avons fait connaître, dans le Chapitre [*, la méthode fondée sur la théorie des fonctions symétriques, pour former l’équation finale qui résulte de l’élimination d’une inconnue entre deux équations ; nous avons démontré ensuite que le degré de l'équation finale relative à deux équations générales des degrés m et n respectivement est précisément égal à mn, et que, dans aucun cas, ce degré ne peut surpasser le produit des degrés des équations proposées. Nous sommes revenu sur cette question dans le présent Chapitre; mais, à l'égard des équations particulières, nous nous sommes borné encore, comme nous l’avions fait précédemment, à assigner la limite que ne peut dépasser le degré de l'équation finale. Nous allons indiquer ici, d’après M. Minding, un moyen simple de déterminer avec précision le degré de l'équation finale relative à deux équations quelconques données (!).
Cas particulier du développement d'une fonction algebrique implicite en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de sa variable,
