FÈ

par l'expression

L à à RE trémes, ou si elle est comprise entre la fraction = et la DZ:

TR ' S F NRA réduite —, le dénominateur B de cette fraction 5 4 Jè

supérieur au dénominateur de chacune des fractions convergentes qui la comprennent.

10. Lorsque la fraction continue est limitée, les deux suites formées avec les réduites et les fractions intermédiaires se terminent d’elles-mêmes ; mais il faut remarquer que l’on peut encore considérer l’une des deux suites comme illimitée. En effet, dans le cas dont il s’agit, l’une

s î P : ] des réduites = exprime la valeurexacte de la fraction con- P

tinue; cette réduite termine l’une des deux suites, tandis

TA

que l’autre suite s'arrête à ; mais on peut évidemn—1

ment introduire dans la fraction continue un nouveau quotient x, égal à ; celle-c1 sera alors représentée

np ie :

SOEUR ER équivalente à Q,x, + QE Q,

Port

. et à celle

de nos deux suites qui se termine à on pourra ajou-

FT

ter les fractions intermédiaires

Pot Pan, 2PatPus SPnt Ps, Q» te D; 2 QG}; + 0: 3 Q» re Qh1

CAC, 7

dont le nombre est illimité. La suite mdéfinie que l’on formera ainsi convergera vers la fraction continue, comme si celle-ci représentait la valeur d’une quantité irrationnelle.

11. La théorie que nous venons d'exposer nous fournit la solution de cette importante question :

Proëzime. — Déterminer, parmi toutes les fractions

dont le dénominateur ne surpasse pas une certaine lmite K, celle qui approche le plus d'une irrationnelle donnée x,

Concevons que la quantité x ait été réduite en fraction continue, puis qu'avec les réduites et les fractions intermédiaires on ait formé les deux séries, l’une croissante, l’autre décroissante, qui convergent toutes deux vers la valeur de x.

S1 le dénominateur Q, de l’une des réduites est égal à la limite donnée K, la fraction demandée sera la réduite