Soit (1) M{x, y
une équation entre les deux variables x LE Les racines
RE
(*) Une traduction du Mémoire de M. Minding a été publiée dans le tome VI du Journal de Mathématiques pures et appliquées.
y sont des fonctions de x, et, si l'équation est complète, chaque racine, ainsi qu’on l’a vu au n° 268, peut être développée dans une série de la forme
œ PAGE Qi —iR — R.., x x
en sorte que, dans le cas général, les racines y d’une équation à deux variables x et y sont du premier degré par rapport à x(!). Mais il n’en est pas toujours ainsi, lorsque l'équation que l’on considère manque de quelques termes. Nous allons indiquer un procédé pour trouver généralementles degrés des racines y de l’équation(1), et pour former les développements de ces racines en séries ordonnées suivant les puissances décroissantes de x.
En ordonnant l'équation (1)par rapport aux puissances décroissantes de y, nous l’écrirons de la manière sui-
vante :
(2) AY"+ Aya... HALyTR +... +A;y"i+A;,, —o, et nous désignerons par RAR LOUE «so Us Pt les degrés des coefficients COL ONT CR NT TO PRONES PE
qui sont des fonctions entières de x. Cela posé, désignons par r un exposant indéterminé, par u une nouvelle variable, et faisons
= Lex Maux:
(*) On dit qu’une fonction y de x est du degré r, lorsque le quotient
De x , , 1 ; = n’est ni nul ni infini pour æ = co
l'équation (2) devient
(3) Arru LA, air ut, Apr ulR RE... HA; —=O, ou, en divisant par Ax’”,
A, a (r-m,)r sp mat © Li AS amnr JURA RER FU QNRE JON ————— UE + LR ï À
dans cette équation, les degrés relatifs à x des coefficients des termes qui suivent le premier sont respectivement
[oem (RE) TES) . mA).
mnt}; mi
Désignons par p, le plus grand des nombres
bip Be — P MR imp 9 ... =" rat CNE MER) ? ?
MN —= m; È — M y; ÂMES m; m k DR 7A . . .
et supposons que F& TE soit le dernier de ceux qui sont m — My,
égaux à p1. S1 l’on fait r — p,, quelques-uns des nombres (5) seront nuls, mais tous les autres, et en particulier ceux qui suivent le kïè"%, seront négatifs; en sorte que, pour x = ® , l'équation (4) prendra la forme
(6) ul, TE Bu o, ou uk fin) ==0;
les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier d’entre eux Bz étant différent de zéro. Cette équation (6) a myracines nulles, et 7 — m; racines finies et différentes de zéro. Il s'ensuit que, parmi les racines y de l’équation (2),1l yen a mx dont les degrés sont inférieurs à p;, et mm — my dont les degrés sont égaux à 0,. En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières
racines sont égaux aux diverses valeurs de «xt, quand on prend successivement pour « chacune des racines de l'équation ofesA Cherchons maintenant les premiers termes des séries qui représentent les mn; racines y de degré inférieur à p,. En divisant l'équation (3) par Axx”#, elle devient Ax(tn-mi)r
ut + + uk +
AgrOnr-mrr 2 Aer “.
À u k + .. —- TE OU HE EN EN O; A% A4 les coefficients des termes qui précèdent u”x ont pour degrés \ 07 Ms (8) PCM j:
| — (My; — my) (Hs eo r) ;
My — My
et ceux des termes qui suivent u/”# ont pour degrés
| (eme) (rt —r); Le:
ae My — My)
ie \ Lx k a D (my — my) (HE sé: r) Mme (e AMIS PLAN |
My, — My! my.
Désignons par g2 le plus grand des nombres
Éd où PE a her (HE db TT | ... Re ee 9 ONCE | Re - N, My — My My — My my, D 4 — Je . . .
et supposons que FFT FE Soit le dernier de ceux qui Mm }; FE m1
sont égaux à p°. Il est aisé de voir que p est plus petit que p,. En effet, on a, par hypothèse, 274 nt bi mn U
= == PE PE E LG m — My, HER my SEE
et l’on en déduit
LL — [2 7; NE : SL Pir 0 OU Pipe pre
Si l’on faitr —p+, les nombres (9) sont nuls ou négatifs, et en particulier tous ceux qui suivent le (4/— k)i°"e sont négatifs. On voit aussi que tous les nombres (8) sont négalifs; car, si g est <7 k, on a, par hypothèse,
nf DEN vs a AE re LÉ ou AVEC x CERTES m — My Pi Piy d’où Mk — Lg Pr — Uy UE os ou CthAEE Aus ree o.
My — My ? Pi My — My pr > D’après cela, si l’on y faitr — p, et x — œ , l’équation (7) prendra la forme
(ro) ux+,.,.+Byu"r—o, où uw filu)—o,
les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier By étant différent de zéro. Cette équation (10) a mx racines nulles et 72; — my, racines finies et différentes de zéro. Il s'ensuit que, parmi les racines y de l'équation (2), 1l y en a mx dont les degrés sont inférieurs à p2, et nm; — my dont les degrés sont égaux à p°. En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières racines sont égaux aux valeurs de æx®% quand on prend successivement pour &« chacune des racines de l'équation
