Soient les deux équations

(M (, 7) = Apt As ya +... + A;7 li + A 0, (2) Nr, BYE RB: y" a D Et iii 0,

que nous supposons ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de y, et dans lesquelles les coefficients À, #4 q

À,,...,B, B,,... sont des fonctions entières de x. Il s’agit de former l'équation finale qui résulte de l’élimination de y.

Désignons par 74, Ya, ..., ym les racines de l'équation (1) résolue par rapport à ÿ, par #1, May ++; Mn les

racines de l’équation (2), et posons

PME, n1)Mlr, mi): AU ICE Q=N(x, Pi)N(z, Ja. Nas ga)

M Fe ) == AY T1) (T7 — 72): (Y —Ym)s N(x,7) =B(yr—m) (9 — n)...(7 —m); M(x, n1) — Ala—yi)(n — V2). . (mi — Ym)s Mr, n) es A ln: — 1 ](n5 — 2): 0 (Do —Ym)s

M rs RS nn (nn — J1)(nx r Ya). + (An — Ym).

à : P f e 1730 Il suit de là que est égal au produit des différences

qu'on obtient en retranchant chacune des racines 71, V2 ...,7nde chacune des racines n;, fs, ns, : + M3: On trouverait de mème que “ est égal au produit des diftérences qu'on obtient en retranchant chaque racine n de chaque racine y, et, comme le nombre de ces différences

est 7111, On à

re —=(— re RE ou Fos BAPE) PAT QE

Or P est une fonction entière et symétrique des racines de l’équation (2), et ses coefficients sont des fonctions entières des coeflicients de l'équation (1); donc BP est une fonction rationnelle des coeflicients des équations proposées, et qui mème est entière par rapport aux coeflicients de l'équation (1). Pour la mème raison A" Q est une fonction rationnelle des coeflicients des équations proposées et qui est entière par rapport aux coeflicients de l'équation (2). Donc, à cause de l’équation (3), B"P est une fonction entière des cocflicients des équations (1) et (2), et, par suite, elle est une fonction entière de x.

SECTION II. — CHAPITRE V. 645 Nous la désignerons par F{x), et nous allons montrer que

(4) F(x}=o est l'équation finale qui résulte de l'élimination de y entre les équations proposées. En effet, soit « une valeur de x répondant à la question, c'est-à-dire telle, que les équations

DR EN, y) = 0 aient au moins une racine commune; On a nécessaire Tour ea. 0 et, Q —o, et; par suite, F(x)—o: Réciproquement, soit a une racine de PL) 0; à cause de

BP —=(— AURA F(x),

on a nécessairement P —=oetQ = 0 pour x = a, et, par suite, les équations