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ont au moins une racine commune. Cela suppose toutefois que À et B ne soient pas nuls en mème temps, pour x = a; mais il est évident que les équations proposées admettent alors la solution commune x = 4, y — & . Au surplus, on peut exclure ce cas particulier en changeant infiniment peu les coeflicients des polynômes À et B sans changer leurs degrés; d’où il suit que l'équation (4) n'aura Jamais de racine étrangère. Et cette considération permet aussi de voir que, si À et B ont un facteur commun, le polynôme F(x) sera divisible par ce facteur. Lorsque les polynômes À, À,,...,B,B,, ... sont chaeun le plus général possible de son degré, les équations (1) et (2) n’ont pas de solutions multiples et ne peuvent acquérir qu’une seule racine commune y pour chaque ra-

cine de l'équation finale. Mais le contraire peut arriver si les coefficients des polynômes A, A,,..., B,B,, . ont des valeurs déterminées. Dans ce cas, chaque racine de l'équation finale a le degré de multiplicité convenable; il suffit, pour s’en convaincre, de changer infiniment peu les coefficients des polynômes À, A,, ..., B, B,, ...,et de supposer ensuite ces changements nuls.

Passons maintenant à la détermination du degré de l'équation finale. Pour cela, on cherchera les degrés p;, Poe +, Pn des racines m1, ñ2, ..…, n, de l’équation (2), et l’on en conclura aisément les degrés 14, À, .…., À, des fonctions M(x,ni), M(x, m), ..., M(x,n:). Ces degrés À peuvent être fractionnaires, mais ils ne sont jamais négatifs, parce que le polynôme A;,, est au moins du degré zéro. Enfin, si l’on désigne par » le degré du polynôme B, il est évident que le degré de B*P ou F(x) sera

My + y + + +),

Il peut arriver, dans quelques cas particuliers, qu'il ne suffise pas de déterminer les degrés p4, po, ..., pb, pour connaître À, 2, «.., An, et qu'il soit nécessaire de calculer entièrement un ou plusieurs termes des séries qui représentent les racines n,, n», ..., nn. Mais 1l est évident que ces cas particuliers ne peuvent se présenter que si la série dans laquelle se développe l’une des racines n,,n9, ..., 1» coïncide, dans quelques-uns de ses premiers termes, avec la série dans laquelle se développe l’une des racines

V1» V2. Vm- Soient, pour exemple, les deux équations

où (x, u) désigne, comme plus haut, un polynôme quelconque du degré u.

SECTION II. — CHAPITRE V. 647 Les degrés p;,p2, ps, 01, ps des racines de la seconde équation ont ici pour valeurs