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—*; mais je dis que, dans tous les cas, cette fraction fera

partie de l’une des deux suites formées avec les fractions convergentes. En effet, s’il en était autrement, la fraction

’ A Si , d demandée ni tomberait entre deux termes consécutifs

Ris Ru SpA DE

de l’une de ces deux suites : mais alors B serait

Je

supérieur à S4, la fraction = k

serait d’ailleurs plus appro-

, A SA chée de x que 0 et par conséquent cette dernière frac-

tion ne satisferait pas à la condition requise.

Donc, pour résoudre le problème proposé, 1l suffit de réduire l’irrationnelle x en fraction continue, de former la série des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, avec les fractions intermédiaires correspondantes ; de prendre enfin dans chaque suite la fraction qui a le plus grand dénominateur au-dessous de la limite K. Les deux fractions que l’on obtient de cette manière comprennent entre elles la quantité x, et elles fournissent les valeurs les plus approchées par défaut et par excès, de cette irrationnelle, quand on exclut les fractions dont le dénominateur est supérieur à K.

On voit que la réduction en fraction continue doit être employée toutes les fois qu'il est question d’exprimer par les fractions les plus simples et les plus approchées qu'il est possible, soit la valeur d’une irrationnelle, soit celle du rapport de deux nombres entiers très-grands.

Théorème de Lejeune-Dirichlet.