La théorie des fractions continues nous a révélé

EE < Ra . ; P | l'existence d’une infinité de fractions G, susceptibles d’exnm

k on ; AR PRE primer la valeur d’une irrationnelle donnée x, à 7 Près- « /2

Ce fait si remarquable peut être établi directement pat un procédé ingénieux dû à l’illustre géomètre allemand Lejeune-Dirichlet. |

Le théorème que nous nous proposons d'établir peut être énoncé dans les termes suivants :

THÉOREME. — Dans la série des fractions qui ont pour dénominateurs les nombres 1, 2,3, ...,n,ilen existeau moins une de dénominateur » qui diffère d’une quantité

moindre que — ; par défaut ou par excès, d’une irra-

tionnelle donnée x.

Représentons par m, le nombre entier immédiatement supérieur à x, et considérons la suite des quantités

M — TZ, M3— 2%, M;— 3x, ..., M —n%,

qui seront toutes moindres que l'unité. Si l’on était assuré que l’un au moins des produits

nim—zxz), nim;—2x), n(m;—3x), ..., n(m,—nx)

eût pour partie entière zéro, le théorème serait démontré,

APN PEUT

car on aurait, par exemple,

n(m,— vx) 1,

d’où

mais, s’il n’en est pas ainsi, comme ces parties entières ne peuvent être que

PART SL DEN UN De à

l'exclusion du nombre zéro exige que l’une d'elles soit la même dans deux produits différents. Soient donc

n(m,— vx) ZE + e,

n(m,—px) =E +,

E désignant un entier, € et n étant des quantrtés positives inférieures à 1. Si l’on retranche ces égalités l’une de l’autre, 1l vient nÂ(m, — m,) —(v—p)x]=e—n, d'où DS TEE D NON ”— pe n(v — +)

On peut supposer que » soit le plus grand des nombres » et u; la différence y —u de deux nombres inférieurs à 7 est elle-même moindre que nr; enfin la valeur absolue de € — n est inférieure à 1. Le théorème énoncé résulte donc de la formule précédente, puisque celle-ci montre que la valeur absolue de la différence

My — My,

V— pe