Considérons l'équation Pæ+Qy=H
dans laquelle P, Q, H sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Comme on peut supposer que ces trois nombres n'ont aucun diviseur commun, l'équation proposée ne pourra évidemment être satisfaite par des valeurs entières de x et de y que si les coefficients P et Q sont premiers entre eux. Supposons que cette condition soit remplie ; ré-
$ ; P , . x duisons la fraction + Q en fraction continue, et calculons
, e. . . P re *u LA les réduites successives. Si — désigne l’avant-dernière ré-
Q° Æ {PQ — QP') —1;
duite, on aura
d’où P(+Q'H)+Q(-P'H)=H,
ce qui montre que l'équation proposée sera satisfaite en
posant Da TROP 4
Désignons par x, et y, ces valeurs des indéterminées x
et y, l'équation proposée pourra se mettre sous la forme
Pr +Qr=Px+Qr ou P(x— x)
et, comme les nombres P et Q sont premiers entre eux,
JS —Vo— — ,
les quantités x et y ne seront entières que si Z — Xo est divisible par Q. On aura donc, en désignant par 6 le quotient de cette division,
Æ = &p + 0Q, JT —09P, c'est-à-dire z=ÆQ'H+60Q, 7y—=ZPH—060P; ces valeurs satisfont à l'équation proposée, quel que soit l'entier positif ou négatif 8.
Il faut remarquer que la valeur absolue de x sera infé-
rieure à Q si l’on prend pour 0 l’un des deux entiers consécutifs entre lesquels est comprise la fraction positive ou
fl
négative + FOIE peut même ajouter que l’une de ces deux valeurs de 4 donnera à x une valeur absolue infé-
- \ I 2 \ [1 . LZ rieure à — Q. Ilrésulte de là qu’il existe une valeur unique s
nu À I I de x entre les limites zéro et Q ou — : Q et + = Q, pour laquelle l'expression Pr —H Q
se réduit à un nombre entier.
L'équation dont nous venons de nous occuper peut s’écrire de la manière suivante :
et l’on voit que toute fraction PO” dont le denomina-
teur est le produit de deux nombres P et Q premiers entre eux, peut se décomposer en deux autres fractions ayant respectivement pour dénominateurs les nombres
P et Q.
Théorème relatif à la réduction des fractions rationnelles en fractions continues.
te ; : P Hé 14. Considérons une fraction rationnelle re EU
à 1, et supposons qu’en la réduisant en fraction continue on ait trouvé
P 1 (1) Q = & + Gi + do +. I An P, p?
la dernière des réduites successives Le DA ER VE PROS ETS) Ce Q: Q: Q2 LA > \ p ? SA égale à ©” et l’avant-dernière aura pour valeur Poe I (2) FETE Qi: I ge ee DER ee Be PSE Aa +. I « 7 + :
D'un autre côté, on a
Px nn Dei An + ps Q, = 0 An + 07 2208 D Are | LEE Ana + n—3) QE — Q? 9 pe + Qss
PME TP, cat P;, Q —Q2 to D Pi4 D, Q —Qa+oQ,, puis
0, 1; Qt, Q, = 0;
ces formules donnent
P I (3) > 2 7 PP n—1 I RESTE Pan ez I OR LE TU \ | hi eee ds + x (221 + ant (4) ee — Ans 8 PRE | pi ur Li TOM a, ren En: I ; a —- nt di
On voit que les quotients de la fraction continue (3) sont précisément ceux de la fraction (1) pris dans un ordre inverse ; la fraction (4) est l’avant-dernière réduite de la fraction continue (3).
Il résulte de là que, si l’on a
(5 ] Pr-1—= Qu
mais seulement dans ce cas, les fractions (1) et (3) seront égales entre elles et la suite des quotients
d;y js do, 5 An-9, Ans
sera réciproque, c'est-à-dire que les termes extrêmes seront égaux entre eux, ainsi que deux termes quelconques pris à égale distance des extrêmes. Comme on a
(6) P,Qru OPA ONE la condition (5) équivaut à
(rh paQui= QE 1)" ou 10. OR
et elle exprime que l'on a
