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(8) “5 — — un nombre entier.

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Réciproquement, si les nombres entiers P et Q<P saüsfont à la condition (8), on peut être assuré que la frac-

ton — se réduira en une fraction continue dans laquelle

les quotients formeront une suite réciproque.

Et ; P ; :

En effet, réduisons la fraction — en fraction continue,

en nous arrangeant de manière que le nombre des quolents soit pair ou impair, suivant que le signe ambigu + exprime + ou — dans la formule (8). Alors, en désignant par z le nombre de ces quotients et par Q la valeur du premier membre de la formule (8), on aura

mais —°—!

: SRE ; ae P P étant la réduite qui précède =" ou —; la for-

n—A nm mule (6) a heu, et, en la retranchant de la précédente, il vient

pe ( Q Fa O2 F= Q, (Q» FE Pr ) 5

comme P, doit diviser le second membre de cette formule, et que ce nombre est premier avec Q,, 1l doit diviser Qy— P,,; cette différence étant inférieure à P,, elle doit être nulle, et l’on a

Port Res Q>: Q7 LE Q :

La première de ces égalités démontre la proposition que nous avions en vue.

15. Les résultats qui précèdent nous seront utiles plus tard; mais il n’est pas sans intérêt de montrer dès à présent comment on peut en tirer une démonstration fort simple d’une proposition importante dans l’Arithmétique supérieure. Cette proposition est la suivante :

THÉOREME. — 7 out nombre entier qui divise la somme

de deux carrés premiers entre eux est lui-méme la somme de deux carrés. |

En effet supposons que le nombre entier P divise la somme R2+5S? RetS étant des entiers premiers entre

eux. Si l’on réduit la fraction S en fraction continue et que [A

l’on désigne par & la réduite qui précède a on aura RS'— SR'——r;

en outre, le nombre P divisant R?2+ S?, il divisera le produit

(R?+ S)(R?+ S?) — (RR'+SS'}?+ (RS — SR}; il divisera donc, quel que soit K, la somme de deux carrés