CHAPITRE IL DES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES

Développement des irrationnelles du deuxième degré en fraction continue.

17. On nomme irrationnelle du deuxième degré toute quantité irrationnelle qui est racine d’une équation du deuxième degré à coefficients rationnels. IL est évident qu’on peut préparer une telle équation de manière que les coefficients soient des nombres entiers ; 1l est même permis de supposer que le coefficient de la première puissance de l’inconnue soit un nombre pair, car on ramène le cas contraire à celui-là, en multipliant l'équation par 2.

Soit, en conséquence,

Lr'—2Mr+N—o

une équation du deuxième degré dans laquelle les coefficients L M, N sont des entiers positifs ou négatifs tels, que la quantité

M? — LN = A, supposée positive, ne soit pas un carré exact. Les racines de cette équation seront représentées par l'expression

EM + VA AR Né

le radical YA étant pris positivement, et le signe ambigu + devant être remplacé successivement par + et par — tant au numérateur qu’au dénominateur ; mais, comme nous ne voulons considérer que les valeurs absolues des racines nous donnerons au dénominateur de

SECTION 1. — CHAPITRE II. 39 ? L , ’ : 2 Ne -e l'expression précédente le signe qui rend cette expres sion positive. Alors, si l’on pose DETTE M

puis que l’on désigne par D, la valeur de N prise avec un signe tel que LN——D,D, toute irrationnelle du deuxième degré prise positivement pourra être représentée par la formule

(1) Ft,

dans laquelle E et D sont des entiers positifs ou négatifs

et À un entier dont la racine carrée est irrationnelle. En outre, on aura

D, étant un nombre entier positif ou négatif.

18. Cela posé, nous nous proposons de développer en fraction continue l’irrationnelle définie par la formule (1).

Après avoir déterminé la racine du plus grand carré entier contenu dans À, on aura immédiatement, par la division le plus grand entier a contenu dans x ; alors on fera, conformément à la méthode générale,