E+VA (P,.E,+P,-D,)P; VAL
D 10% E, Dis 5 D,1 D 3 Q» VA
si l'on chasse les dénominateurs et que l’on égale ensuite de part et d’autre les parties rationnelles et les parties irrationnelles, il viendra (8) Q» Ho 0 D'=Dree EQ%E (9) (DB,=— FOIE à (D? re EQRS JD} — AQ,.
En résolvant ces équations (8) et (9) par rapport à E, et D,, et en faisant usage de la relation
PQ»: tax QARTTÉS (— [17° on trouve en
D [AQ 3-1 Qe (DR3 ar EQ,:) (DP,— EQ;)|,
ob
[42 (Hi) D Eu [(DP,— EQ,)? — AQ:]; il est évident que la quantité entre crochets, dans l’expression de E, ou de D,, se compose de termes qui conuennent D en facteur, et d’un terme multiplié par le nombre À —E? qui est divisible par D. Donc les formules (10) et (11) montrent que E, et D, sont des entiers, ce que nous savions déjà; mais elles vont aussi nous conduire à un autre résultat fort important.
Je dis effectivement que, si 7 est supérieur à une certaine linute les entiers E, et D, seront toujours positifs.
La formule (1 1) démontre immédiatement ce fait à l'égard de D,; en effet, on peut l'écrire comme il suit:
Dro(ee En) favr+o(e ES t)|
| P E RG D:
or, d’une part, le facteur 7 — E + VA qu — Q? D 02
signe de (—1)}*, et d'autre part, comme cette différence
2 ra le
peut devenir aussi petite que l’on veut, en prenant 7 suffisamment grand, le dernier facteur de notre expression
de D, approchera autant que l’on voudra de 2 VA, et il sera, en conséquence, positif pour toutes les valeurs de x supérieures à une certaine limite ; done aussi D, sera positif.
On pourrait établir la même propriété à l'égard de FE, en se servant de la formule (10), mais il est plus simple de partir de l'équation (8). Celle-ci donne
230) | nm QD (D Pe y), rm ñn
et, en divisant par Dyxn — VA + E,,
P D'ERES s) DE:
QE —— ( Q» 2 QuTh VA + E,
Pour les valeurs de 7 supérieures à une certaine limite,
(D . — E) différera de VA d’une quantité plus petite
qu’une quantité donnée quelconque : il en résulte que le nombre entier E, ne pourra pas être négatif; car, SI cela arrivait, le second membre de la formule précédente serait plus grand que 1, et il ne pourrait être égal au premier membre, lequel est évidemment inférieur à 1.
44 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.
Si donc, pour quelques-unes des premières valeurs de n, 0; 1, 2,..., les nombres D, et E, peuvent êtré négatifs, cette circonstance ne pourra plus se présenter dès que 7 aura atteint une certaine limite.
20. Nous pouvons maintenant établir la proposition suivante due à Lagrange :
Taéorëme I. — La fraction continue, dans laquelle se développe une irrationnelle du deuxième degré, est périodique, c'est-à-dire que la série des quotients complets ou incomplets, à partir de celui qui occupe un certain rang, est formée d’une suite limitée de termes ou période qui se reproduit indéfiniment la méme.
En effet, soit l’irrationnelle du deuxième degré
HESRUA (1) ae 1.
que nous supposerons positive ; le nombre A est un enüer dont la valeur est donnée par la formule
