E, << VA
la formule (5) nous donne ensuite, en écrivant z au lieu de 7 —1, DER IE LE re À,
Aünsi les nombres E,, D,, a, sont limités et les quotients complets x, ne peuvent avoir qu’un nombre fini de valeurs différentes. Donc, après un nombre d’opérations plus ou
moins grand, mais qui ne peut excéder 2 WA x VA ou 2A, on retombera nécessairement sur un quotient complet déjà obtenu; après quoi le reste de la série des quotients complets ou incomplets sera formé d’une même suite ou période de termes déjà trouvés, laquelle se répétera indéfiniment.
Il convient de remarquer que la relation (4) donne D,,D,< A, et l’on aurait de même, en changeant 7
en z—1, D, 2 Dy 1 < A. Si donc on a D A,
on aura
Dr» <CYA et D,<VYA;
d’où 1l résulte que, sile dénominateur d’un quotient complet est supérieur à VA, le dénominateur du quotient précédent et celui du quotient suivant sont l’un et l’autre inférieurs à VA.
La démonstration précédente repose sur ce seul fait que D, est positif pour les valeurs de 7 supérieures à une certaine limite; elle subsisterait donc lors même que
46 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.
nous n’aurions pas établi que E, est également positit pour des valeurs de 7 suffisamment grandes. Enfin il est évident que, si x, est le quotient complet qui commence la première période, les deux nombres E, et D, seront nécessairement positifs à partir de la valeur 7 = ».
21. Taéorëme Il. — Réciproquement, toute quantité qui se développe en une fraction continue périodique est une irrationnelle du deuxième degré.
En effet, considérons une irrationnelle x qui se déve-
j : MUte 4 P loppe en une fraction continue périodique ; soient — la
réduite de rang 2 +1 et x, le quotient complet correspondant, on aura (1)
pi PETR TE Pas Qxrx + Qi
S1 la fraction continue est périodique simple, c’est-à-dire si la période commence au premier quotient et que cette période ait À termes, on aura
TL} ns 47 ; alors la formule (1) donnera PE —- Pr PEN
Que + Qr:
ou
(2) Que? — (Pr — Qui)r — Pr = 0;
x est donc racine d’une équation du deuxième degre à coefficients entiers. Îl faut remarquer que le nombre peut être égal à 1, et que, dans ce cas, on a Py, = 1, Qx: — ©.
S1 la fraction continue proposée est périodique mixte, c’est-à-dire si la période ne commence qu'à partir du
Aer
quotient de rang 7 +1 etque cette période ait À termes
on aura
(3) «siens LonLm EE Pons 9 Par Con A Pme Q+ Tyn fe A On aies Qc
avec
(4) Lyn+k — Ts
chacun des nombres m et # pouvant être égal à r. Si l’on résout par rapport à Xm et Xm+r les deux équations comprises dans la formule (3), puis qu’on égale entre elles les valeurs obtenues, on aura
. NT P y: — es Se D Per
D — Q,,x *4 Per QT
équation qu’on peut mettre sous la forme (5) Lzr?— 2Mzxr+N—o,
en posant, pour abréger
L= 15 art Ce 0 Orers ,
(6) 21e ES Prier 07 Pit sis m—1 Qurr Pr Qhrret , NE LE HE RTS 149 Pate: .
On voit donc que x est encore dans ce cas, l’une des racines d’une équation du deuxième degré à coefficients entiers.
Corozzarre. — L’equation du deuxième degré à coefficients rationnels, à laquelle satisfait une fraction continue périodique donnée, a ses deux racines de signes contraires si la fraction continue est périodique simple, et elle a toujours ses racines de même signe lorsque, la fraction continue étant périodique mixte, il y a plusieurs termes avant la période.
En effet, s’il s’agit d'une fraction périodique simple x, l’équation (2) à laquelle cette quantité doit satis-
faire a évidemment ses racines de signes contraires.
Sil’irrationnelle x se réduit en une fraction périodique mixte, elle satisfera à une équation telle que (5), dans laquelle le produit des racines est, d’après la formule (6),
N + Ps Pr ES P} Pres ù L Qu OF F7) Q» OS
Supposons qu'il n’y ait qu’un seul quotient a avant la période, on aura
ENS bei DEC 027320 O1
et, par suite, N3 Pi ape
EAU — Qx À ce rapport peut être positif ou négatif; donc, dans ce cas, les racines de l’équation (5) peuvent avoir le même signe ou des signes contraires.
Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs quotients avant la période, et soient a»1, 4m:x, les quotients incomplets de rang m et de rang m + k; on aura
JE, = Hs Ami + Pp—2 Pre Pt Am+k1T Pn+r a
Q»— Qn1 Ami + Qn2 ; Qn+rx= Qu+x 1 An+k1 + Queen
4 ? o Là 4 N Q au moyen de quoi l expression générale de CL devient
15 M+Ak—2 pre P In—2 Phare Les QUE 0 |
