PAST O
(ann = Æyn—1 ) TE:
N des P 1 Pp+x1
IT #22: va À Q7 1 Q+x 1 lie == ei) 2% |
La différence a»4x 1—4@m, n’est pasnulle, carautrement la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne l’a supposé ; d’ailleurs le deuxième facteur du second membre de la formule précédente est une fraction dont chaque
be,
terme s’obtient en ajoutant une quantité positive ou né-
gative, mais fractionnaire, à l’entier ay4#1 —@m 1 3; donc
le facteur dont 1l s’agit est positif, et 1l en est de même N . A , 2 du rapport 7; ce qui achève la démonstration de la pro-
position énoncée.
22. Taéorime II. — Zes périodes des quotients incomplets, dans les fractions continues qui expriment les racines irrationnelles d’une équation du deuxième degré à coefficients entiers, sont inverses l’une de l’autre,
c’est-à-dire que Les quotients dont se compose l’une des périodes sont précisément ceux de l’autre période disposés dans un ordre inverse.
Supposons d’abord que l’une des racines de l'équation proposée se développe en une fraction continue périodique simple. On peut admettre que cette racine æ est po-
sitive et supérieure à 1, Car on ramènerait le cas con-
} À LE 1 traire à celui-là en changeant x en — x ou en # -. TX
Cela posé, 6. représentant généralement la réduite de
nm
rang 7 + 1,et x, le quotient complet correspondant, on a
DROLE EN ny à P; 7 O0?
Si k exprime le nombre des quotients contenus dans
Pr + Pr /< EE ——
— , d’où L'y;} — Qxrr + Qz1 £
la période, on reproduira équation dont x est racine en remplaçant xx par x dans l’une ou l’autre des formules précédentes; cette équation peut donc se mettre sous la
forme Ga LEA ce M Pr — Qrr
1 x I à et, sil’on représente par — — sa deuxième racine, qui est A
Se, Alg. sup. — L 4
a MA RS 0 D OR NE VE ms: de à |: \ : Ç NE 1»? 5 f: PA Fi 10 "1 Tue WC 2) NL Mi RL : , i J 4 ; | \ 7 Er
5o COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE; négative, on aura
AL Pin EE Qz TP Qu Or, Px étant supérieure à 1, on sait (n°14) que = Let 1e Qx QuiarDt se développent en des fractions continues formées des Qx Qx
est l’avant-dernière réduite de la fraction continue égale
mêmes quotients ,mais en ordre inverse; en outre,
ee : donc x’ est égale à une fraction continue pério- FL
dique simple, dans laquelle la période est inverse de celle de x:
Considérons en second lieu le cas où les racines de l'équation proposée se développent en des fractions périodiques mixtes. Soit x l’une de ces racines; nous pouvons supposer æ positive, et, si la période commence au quotient de rang m +1, on aura
Pytm Tm a SH rt d Qtm > 0227
