MAY 7 Q
eye
SECTION I. — CHAPITRE II. 5 Or, à cause de l'égalité
P, QT Q} Res (— Li
les fractions continues x’ et x°, se terminent par les mêmes quotients (n° 16); d’ailleurs, dans une fraction continue périodique, on est libre de faire commencer la période à l’un quelconque des quotients qui viennent après la partie réellement non périodique; donc on peut considérer comme inverses l’une de l’autre les périodes des fractions continues x et x". Mais 1l faut bien remarquer que ce n’est qu’en entendant les choses de cette manière que le théorème énoncé est exact.
23. Taéorime IV. — La période de la suite formée par les numérateurs ou par les dénominateurs des quotients complets relatifs à l’une des racines irrationnelles d’une equation du deuxième degré à coefficients entiers est inverse de la période analogue qui se rapporte à la deuxième racine.
En effet, d’après ce qui précède, les périodes des quotents incomplets, relatives aux deux racines, peuvent être représentées par
(1) ; js As ces pes A1, (2) Ak—is Æk-aos +3 os dis æ.
Soient
æ, yo Lay ocre) Cpos Xp;
° To e x}
les quotients complets qui répondent respectivement aux quotients incomplets (1) et (2).
Si x désigne un entier quelconque compris entre zéro et k, on peut regarder la suite
Ans An+is ce. A1) a, js Lys
comme étant la période des quotients incomplets de la première racine, et cette période sera en même temps celle que fournira le développement du quotient complet x». Pareillement, on peut prendre la suite
Zn—1) Any +.) €; a, As An+41) An
pour la période de la deuxième racine, et cette même suite sera la période de la fraction continue égale au quotient complet x7,.
Cela posé, les irrationnelles x, et x,, étant égales à des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses l’une de l’autre, x},
" ; , L et — — seront les racines d’une même équation du Th
deuxième degré à coefficients entiers. Si donc on pose
ESA EAU (3) np Lyon — 2% + n k—1e
ST Pr
À, E,, D,, E,,, D;, étant des nombres entiers la
quantité x,, sera égale à la valeur que prendra —
quand on aura changé le signe du radical VA ; en consé-
quence, on a
(4) E}» + VA Ent VARIE
Ds; D, Fe d
les formules (3) subsistent pour 2 —0 et pourn =,
car on a xx =x et x, — x"; il en est de même à l’é-
gard de la formule (4), pourvu que l’on supprime lin-
dice o, quand les lettres D, E, D’, E‘ sont affectées de
cet indice.
La formule (4) donne
(5) En TZ Es
puis E?+D,D;,=A; mais, commeonaE;+D,,D,=A, la précédente égalité se réduit à
(6) Des = D,
Les égalités (5) et (6) démontrent la proposition énoncée; 1l en résulte que, si la période des quotients complets de l’une des racines est
PRE Ei-e- VA BE VAR E AAA : LE Du É Dis Deux
la période des quotients complets de la deuxième racine sera
(8) CA AQNE,. "VA HARAS A RD M RD) Ti: D
Comme les périodes (7) et (8) se répètent indéfiniment, les termes qui viennent après ceux que nous venons d'écrire sont respectivement
ERA EE A D À D; à
et d’après la loi de formation des quotients complets,
on aura
Cette égalité montre que si les fractions continues auxquelles se rapportent les périodes (7) et (8) ne sont pas périodiques simples, les dénominateurs des quotients complets qui termineront les parties non périodiques seront respectivement D;, et D. Il résulte évidemment de cette remarque que la période des dénominateurs des quotients complets commence un rang plus tôt que la période des numérateurs des mêmes quotients.
24. APPLICATION A UN EXEMPLE. — On propose de développer en fraction continue les racines de l’équation
