Considérons les expressions des quantités u, et

qui nous sont données par les formules (9). Si l'on re-

| présente par — la réduite qui précède = dans le développement du quotient complet z”, on aura

LA L4 ax + zx s g———;: doù 672°—{(2-—€)r — x —0;

Gr 6 E si ee et égalant ensuite

remplacant x’ par sa valeur à zéro la En — la partie multiphée

par ÿA , il vient

EE c) d 0 267 —{« 6) —0, d'où

(23: a an (=) 67)

Au moyen de ces relations les formules (9) deviennent

et, comme là différence 25" — 26" est me à +1, on aura (25) ES Tee mn À

Nous pouvons conclure de tout cela une propriété remarquable, qui consiste en ce que les quantités u, et », ont les mèmes valeurs, quel que soit le quotient complet à parur duquel on fait commencer la période, pourvu que le nombre des quotients que l’on fait figurer danscetie période reste le mème. En effet, supposons que

PE DCR, “2 — " « ps dE > r” pa

l’on fasse commencer la période au quotient complet qui vient après x’, la période des quotients incomplets sera

di, do, .…… dpi «a;

re œ : : à désignons par 7 la fraction continue formée avec ces

U ne]

k quotients, et par 7 celle qui est formée avec les mêmes

quotients, sauf le dernier. Il est évident que l'inverse -# (#4

; : te ; de la seconde fraction est égal à 3 —& et que l'in-

6, %: ; aa+ a verse — de la première est égal à

TE Li Onerdoie en Ga +6

6, aæ—6a 6 (aa+ux)— a(6a +6!)

PA RE FH) 6a ue

et par conséquent

d’où l’on tre “ + 6 —\4 0e on a d’ailleurs

16, — Ga, — «8 — 6x ——Hr,

Ces dernières formules montrent que les valeurs de u, et de v,, données par les équations (14), ne changent pas

e Re quand, au lieu d'employer la fraction g qui répond au

quotient complet x', on se sert de la fraction analogue X1 . : . . .

— relative au quotient complet qui vient après x!.

Je dis maintenant que uw, ets, sont des nombres entiers ou des fractions ayant pour dénominateur 2. La première

des formules (14) montre qu’il en est ainsi à l'égard de

u,; quant à #4, sa valeur est = : soit — ce que devient D g

cette fraction lorsqu'on la réduit à sa plus simple expression. Le nombre D’ est un multiple de g; ensuite les formules (13) montrent que 2E’ est divisible par g et que 4A l’est par g?; mais on a vu (n°18) que D’ et E’ne peuvent avoir un diviseur commun 6, dont le carré 6? serait un diviseur de À : il en résulte que notre nombre g est nécessairement égal à 1 ou à 2. Si g est égal à 1, v, est entier, et u, l’est aussi à cause de la formule (15). Si g est égal à 2, les nombres u, et v, ont l’un et l’autre le dénominateur 2; en effet, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, D’ est pair, et si u, était entier, E’ serait divisible par 2, à cause des formules (9), et A le serait par 4, à cause de la formule (15). Or il est permis de supposer, comme nous l’avons déjà dit, que les trois nombres : 3 Sn 04 A » ; na et r ne sont pas tous les trois entiers; donc le nombre u, ne peut être entier quand s, est fractionnaire. Ce que nous venons de dire des nombres u, et », a lieu également, quel que soit n à l'égard des nombres uw, et ”. On voit immédiatement, par la formule (10), que u, et v, seront entiers si u, et v, sont eux-mêmes entiers. Supposons donc que ces derniers nombres aient le dénominateur 2. Si l’on fait successivement 7 — 2 et n = 3, dans la formule (10), il viendra, en ayant égard à la formule (15),

Us — v, VA — (au?) — ouiv, VA, UN UV A — (4uÿE3u)—(4ui Hi), VA.

» ; ; ESS On voit que, si u, et v, sont de la forme K + >? K étant

un entier, u: et v, seront de la même forme, tandis que us et y, seront entiers. D'ailleurs, si l’on fait n — 3 u + v, S — Alg. sup., L É)

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Le EE ÉN UE ».