CUS
®,—P, (s + R')— (EP, — FQ) 2
1/ ' - Te 1 2 =Q (s' + e R')—(DP—EQ) #R°
L 4 4 R , © . , D'après notre hypothèse, gr st une réduite de z' qui répond au dernier quotient de la ni*°° période; d’ailleurs
£ est la réduite qui répond au même quotient pris dans la première période; donc les valeurs de R’et de S' seront données par les formules (12), si l’on y remplace
ASE 32 Po et Qo paré et 6’, D, E, F par DE TUENE E',2=:D° fet qu’on écrive z — 1 au lieu de 7; on a amsi RSR D UE (E/6 D }e,4,
Si 6: Use D'
6 == E' s) Pn—1°
En faisant usage des formules (13) et (14), ainsi que des relations Ui Una + Av; On = Uns Vilni Un — Vns
qui résultent de l'identité
(a, 40 VA) — ture, — Vn—1 VA) (a, AE VA),
\ Ca 1 d'A
on obtient les valeurs suivantes de R’ et S’ :
6 œ—u R'=-ÿ,, = S' = u, — en — de P, (A Les expressions précédentes de ®, et de 2, deviennent
ensuite He ADO (EP, = FQ:) Pro
D nr Fe Qouy 4 (DP, se. EQ)n»
et par conséquent on a
Bu (HiP Ps, Qu=(+i) Qu ce qui démontre bien que, pour les valeurs de 72 supé-
se rieures à 1, les fractions —— sont les réduites qui répon-
TL
dent aux quotients complets précédant les quotients égaux à z' dans les périodes successives de la fraction Nos z. Il faut remarquer que la première des ré-
LA — 9 SAVOIT -—>© céen À peut répondre à a un quotient com-
pris dans la partie non périodique.
le
31. Le cas de 7 — 1 constitue une exception; la frac- . P>: A La Le tion —— peut être une réduite de z ou de x, et dans ce dernier cas elle répond toujours à un quotient compris dans la partie non périodique; il peut arriver aussi que . Pr LA , L la fraction -— ne fasse partie des réduites d'aucune des fractions continues x et z.
Le cas de 7 = 2 fait lui-même exception, comme nous l'avons déjà dit, lorsque les périodes de x et de z se réduisent à un seul quotient égal à l'unité. L’équation
5x? — 25zx + 31 —0
r LS
SECTION I. — CHAPITRE Il. 79
en offre un exemple. Les deux racines sont
LES MONTRE at TO 10
, . pa . , 0 se les réduites 6. de x qui répondent aux quotients périonm diques sont données par les formules
Pr, li, 034 F9
". FN ne) e
3) On tire de là
DO AP MIO NP, 4 196 "1P, At
— —=£o ——=*+ — = — — = — EE CURE RS
Mori 7 40 on Q 1%
puis, en donnant à » des valeurs négatives, PNR UP HIS IMEp EAN ESP.., 0 8 5 Le NC em me Qt 6 CNTENTE PER LAPS GLS
Dans cette dernière suite, la deuxième fraction n’est une réduite pour aucune des deux racines x et z; la pre-
. mière et la troisième fraction sont des réduites de z qui . répondent à deux quotients de la partie non périodique, . et ce n’est qu'à partir de la quatrième fraction que com-
mencent les réduites relatives aux quotients périodiques.
Cas de la racine carrée d’un nombre entier.
