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toujours trouver une quantité positive p et un arc a tels
que l’on ait A—pcosa, B—psina.
En effet, 1l suffit de prendre
p — + VA? + B?, puis ÂÀ A
COSG— y SN = —— ; + VA? + B? + VA2+ B?
par conséquent, on peut écrire À + B: = p COS + Ep sin aq ou, si l’on veut,
A+Bi—p (cosa + isina).
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p(cosa +isina), la quantité positive £p est dite son module; l'arc a est son argument.
. Le module d’une expression imaginaire donnée est déterminé, mais l'argument ne l’est pas entièrement; car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son argument ou qu’on en retranche un nombre quelconque de circonférences.
Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi-circonférences ; car soit À un nombre positif, on a, quel que soit l’enüer k,
+ À — A (cos2 x +isin2Âr), — A—Afcos(24+1)r +isin(24 +1)x|].
Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et 1l suffit que leurs modules soient égaux, et que
leurs arguments diffèrent d’un multiple de la circonférence. Supposons. en effet, que les expressions p(cosa +isina) et p"(cosa' +isina’) soient égales; on a pcosa—p'cosa', psina—p'sina/, et, si l’on ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré 1l viendra pese AA ACER ÉLESP RE les modules étant égaux, les arcs a et a ont même sinus et même cosinus; donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence. es arguments de deux expressions imaginaires conju- L g ts de d P ginaire ] guees, telles que À + Bi et À — Bi, ont même cosinus, tandis que leurs sinus sont égaux et de signes contraires;
la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence.
38. Taéorkme. — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le produit des modules et la somme des arguments des facteurs.
Considérons d’abord deux expressions imaginaires cosa +éisina et cosb +isinb
ayant unité pour module. Si l’on effectue leur produit, il viendra
(cosa + isina) (cosb + isinb) — COS a cos b + à (sina cosb + cosa sinb) + ?sinasinb, ou, à cause de 1? — —1 (cosa +isina) (cosb + isinb)
— (cosa cosb — sinasinb) + à (sina cosë + cosa sind );
Or nous Savons que l’on a
cos a cosb — sina sinb —cos(a + b), sina cos b + cosasinb —sin(a +); on peut donc écrire (cosa + isina) (cosb + isinb) — cos{a + b) +isin(a + b). Soient maintenant p(cosa+i sina),p'{cos b +1 sind)
deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules p etp'; on a
p(cosa + isina) Xp’ (cosb +isinb) — pp" X (cosa +isina)(cosb +isinb), et, par conséquent, p(cosa +isina) Xp’ (cosb +isinb) = pp [cos(a + b) +isin(a+b)].
CorozLaiRE 1. — Le quotient de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le quotient des modules et la différence des arguments du dividende et du diviseur:. |
Car soient les deux expressions picosa+isina) et p'(cosb +isinb);
on a Ê [cos (a — b)+isin(a—b)] X p'(cosb + isinb) — p(cosa +isina);
p(cosa isina) pla b)+isnle #4 p'(cosb+isinb) op’ [cos (a ) + ésin (a ) |.
CorozLairE Il. — Ze module et l'argument du pro-
duit de tant d "expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux respectivement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et l’on ajoute leurs arguments. Pour muluplier ce produit par le troisième facteur, 1l faut multiplier son module par celui du troisième facteur et ajouter à son argument celui de ce troisième facteur, et ainsi de suite.
CorozzaiRE IL. — Pour élever une expression imaginaire à une puissance entière et positive de degré m, il faut élever le module à la puissance m, et multiplier l'argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que l’on y considère.
Soit, en particulier, cosa isina une expression imaginaire de module r; on a
(cosa Xe isina }” — cosmna + isin ma.
C’est dans cette égalité que consiste la formule de Moivre.
39. Le module de la somme de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules des parties.
En effet, soient les deux expressions imaginaires p(cosa +isina), p'{(cosa +isina’), et posons
R (cosA + isinA) — p (cosa + à sina) + p' (cosa' + isina' };
ans ei
SECTION I. — CHAPITRE III: OL on aura R cos A — p cosa + p' cosa, R sim À — p sin a + p'sina'; ni R? : , Sas x . , , , si l’on ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré
et que l’on extraie la racine carrée des deux membres de l'égalité résultante, il viendra
R — Ve? ae 2 pp cos (a — a) + pa;
on a donc RSV(p+p} ou
R2 pou
Il résulte de là que :
IA
p+p'; <aiies Vo
Le module de la somme d’un nombre quelconque d'expressions imaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces CXPressions.
Des fonctions entièr'es,
