Un polynôme tel que DUR ALT SE ANA, 12 A

dans lequel chaque terme est le produit d’une constante réelle ou imaginaire par une puissance entière d’une variable réelle ou imaginaire z, est dit une fonction enère de z. Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances de z, le degré mn du premier terme est le degré de la fonction. Une équation est dite algébrique lorsqu'elle peut être mise sous la forme f(z)— 0, f(z) désignant une fonction entière de z.

THéorRemE |. — S1 une fonction entière f(z) de z s'annule pour z = 0, on peut assigner une quantité positive r, telle que, pour toutes les valeurs de z dont le

module est compris entre zéro et r, le module de f(z) soit constamment inférieur à une quantité donnée K.

En effet soit la fonction f(z)—= 1403" +A 21 TE, + A, 3

qui s’annule pour z — 0, et dans laquelle quelques-uns des coefficients À peuvent être nuls. Désignons par p le module de la variable z et par a le module de celui des coefficients A5, À,,..., À,,, qui a le plus grand module. Comme le module d’une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on aura

mn+1

mod f{z) <Lafpt+p"-1l£,,,+p) ou a

et, si la valeur depest inférieure à 1, on aura à plus forte raison

mod f(2) << - ni Donc, pour que le module de f (z) soit inférieur à R, il suffit que l’on ait ap R

ee RS RER à

et, en conséquence, si l’on pose