R HOTTE

le module de f 4) sera inférieur à R pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre zéro et 7’.

CoroLLaiREe I. — $z PE) A pe 2 PA pu SP AA

est une fonction entière de z ordonnée par rapport aux

es.

L'UCESES

puissances croissantes de z, et que l’on pose APeles Aria (re)

on pourra assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre zéro et r, le module de & soit constamment inférieur à une quantité positive quelconque donnée R.

En effet, la fonction que nous désignons par € a pour valeur & — Am CAN SERA A Rte SRI ADS ZE FPE À np Apec et il suffit de lui appliquer le précédent théorème pour établir la proposition énoncée.

Dans le cas où la fonction f(z) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dontle module est inférieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son prenuer terme.

CoroLLaAIRE Il. — 67 J(z) = Az" + Az +, HA, iz+ A,

est une fonclior entière de z ordonnée par l'apport aux puissances décroissantes de z, et que l’on pose

f{s)=Az"t tite),

on pourra assigner ure quantité positive r telle, que pour

toutes Les valeurs de z dont le module est supérieur à Tr le module de & soit constamment inférieur à une quantité positive quelconque donnée KR.

En effet, la foncuon désignée par € a 161 pour valeur

FeLA DUT da se ce Ame L Ke I A) 2 Aa 72 Ab g'i—1 À) zn

VE

et son module sera inférieur à la quantité donnée R pour

I . se \ toutes les valeurs de - dont le module est inférieur à une . . , I 9 dé . , - s di + certaine quantité — qu on peul éterminer, c est-a-dire Y

pour Loutes les valeurs de z dont le module est supérieur à 7.

Dans le cas où la fonction f(z) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.

CorozLaire III. — Ze module d’une fonction entière f(z) devient infini en méme temps que le module de z.

Ce corollaire résulte immédiatement du précédent. En

effet, la fonction f (z) étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de z, soit À9 z°* son premier

terme, et posons

on sait que le module de € peut devenir aussi petit que l’on voudra, si le module de z est suffisamment grand.

Soient M, p, a, n les modules de f(z), z, As, €; l’équa-

4 re . M £ bon précédente nous montre qué est compris entre ap 4

1—» eti+n, d'où il suit que, quand p tend vers l’infini, on a

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