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AA. Taéorëme Il. — Une fonction entière f(z}:dea est continue.

En général une variable f (z) qui dépend d’une autre

variable z est dite continue, si le module de la différence f(z+h)—f(:)

peut devenir plus petit qu’une quantité quelconque donnée, quand on attribue au module de } une valeur suffisamment petite.

Cela posé, f(z) désignant une fonction entière, ordonnons le polynôme f'(z + h)—f{z) suivant les puissances croissantes de h; ce polynôme s’annulera pour h = o, et si l’on désigne par A,,h" le premier de ses termes, on aura, par le corollaire I du n° 40,

Jiz+h)—f(z)= Anti +e)

e étant une quantité dont le module peut devenir aussi petit que l’on voudra. Si donc on attribue à À des valeurs dont les modules décroissent indéfiniment, le module de la différence

f(z+h)—f(2) prendra des valeurs qui décroitront aussi indéfiniment, et en conséquence f (z) est une fonction continue.

Corozzaime Ï, — La variable z et la fonction entière f (z) étant supposées réelles, si l’on attribue à z deux valeurs z6, z,, et que les valeurs correspondantes Î (20); f (1) de f(z) soient de signes contraires, la fonction f(z) s’annulera nécessairement pour une ou plusieurs valeurs de z comprises entre Zz5 60271:

En effet, s’il en était autrement, les valeurs que prend f(z) quand z varie de z, à z, seraient comprises, les négatives entre deux limites — A et— B, les positives entre deux autres limites + A et + B'; par conséquent, 3 variant d’une manière continue, il faudrait que f (z) passât brusquement d’une valeur comprise dans le premier intervalle à une valeur comprise dans le second, ce