RS LA

qui est incompatible avec la propriété que possède f'(z)

d’être continue.

CoroLLaIRE II. — Quelles que soient la variable Be D (cosw és isino) et la fonction entière Pa) =PHiQ,

si le module ou l'argument de z reste constant, ou si ces deux quantités varient simultanement d'une manière continue, suivant une loi déterminée, aucune des

deux quantités P et Q ne pourra changer de signe sans s’annuler.

La démonstration est exactement la même que celle du précédent corollaire. Supposons, en effet, que l’argument w varie de w&6 à w,, et que p soit constant ou qu'il dépende de w, d’après une loi quelconque, de façon à varier d’une manière continue quand w varie lui-même d’une manière continue. Si P ou Q a des valeurs de signes contraires pour & = 64 et o — w, et que cette fonction ne s’annule pas, ses valeurs négatives seront comprises dans un certain intervalle, et la même chose aura lieu à l'égard de ses valeurs positives. La fonction passerait donc brusquement d’une valeur comprise dans le premier de ces intervalles à une valeur comprise dans le second, ce qui est inadmissible.

Développement de la fonction entière f(z+h) suivant les puissances de R.

À9. Soit F2), = 4027 + AS NOR Ahn1z+A», on aura, en remplaçant z par z —+- h,

f{z+h)—=Ao(2+h)" + A; (24h) IE. A (2+4)+A.

Si l’on développe les diverses puissances de z + À qui figurent dans cette formule et qu’on ordonne suivant les puissances croissantes de , il est évident que le premier terme sera f (z), et que le coefficient de h# sera

D rh re. (PA bre 3 RSS

IN—y 1.2.,.f4 1.2...1f.

- Nous représenterons par

RER eu (2)) pm 3 les coefficients respectifs de | k Le ht zm