CRE CALME RE RU

dans le développement de f(z + h), en sorte que l’on aura VAL

L {4 1° //4 f(z+ BIEN) Carat Bresse

fre (z) et

D mA TES. EpA sil RL, + A 0, Mz) —m(m— 1) A2 +... +ulu — EAP Zi LA

In 21

Chacune des fonctions PROS RONA (Z | EN Tz |,

à partir de la deuxième, se forme d’après la même loi au moyen de la fonction précédente, savoir, en multipliant . chaque terme de celle-ci par l’exposant de z qui y figure, et en diminuant ensuite cet exposant d’une unité.

La fonction f’(z) est dite la dérivée du premier S.— Alg. sup., 1. 7

ordre, ou la première dérivée, ou simplement la dérivée de f{z). Pareillement f”(z), qui est la dérivée de f”(z), est dite la dérivée du deuxième ordre, ou la deuxième dérivée de f(z), etainsi de suite jusqu’à f”" (2), qui sera la dérivée du mi" ordre ou la mi" dérivée de f(z). Une fonction entière du degré m a ainsi mn dérivées successives dont les degrés sont respectivement mm —1,m—2,..., 1, 0, en sorte que la mi°"* dérivée est égale à une simple constante.

D’après ce qui précède, lorsque la variable z reçoit l'accroissement , la fonction f(z) prend un accroissement qui peut être mis sous la forme

(1) f(z+h)—fl(z)=hf(z)+ 4e, en posant, pour abréger, h // L° {7/2 rs mi>) (2) renar À Fer ER D (Fri (z). On a donc -h)— f(z (3) AURAS) —f'(z2)+6,

et, comme € tend vers zéro en même temps que #, on voit que la dérivée d’une fonction entière TEA est la limite vers laquelle tend le rapport

fiz+h)—/f(:) h

lorsqu'on fait tendre } vers zéro.

En outre,, quelle que soit la valeur attribuée à z, on peut assigner une quantité positiver (n° 40, corollaire IT) telle que, pour toutes les valeurs de À dont le module est inférieur à r, le module de la fonction € soit inférieur à une quantité positive donnée n aussi petite que l’on voudra. |

Principe fondamental de la théorie des équations.