Lemme. — Soit f(a)= A2" + Ass... + A, 15 + An

une fonction entière d’une variable z, d’un degre quelconque m, et dans laquelle les coefficients As, À,,..., Am sont des quantités données réelles ou imaginaires. Si le module de f (z) ne se réduit pas à zéro quand on attribue à z la valeur déterminée 20, reelle ou imaginaire, on pourra trouver une quantité h, réelle ou imaginaire,

telle que le module de f (= z9+ h) soit inférieur au module de f (2).

En effet, 2 désignant une nouvelle variable, remplaçons z par Z9+ h, et faisons, pour abréger l'écriture,

fe LPRTE (204 FAO rare il viendra f(a+h)=2Zo+Zh+... HZ... + Zn,

Par hypothèse, le module de Z, n’est pas nul; quelquesuns des coefficients Z,, Z:,... des puissances de h peuvent être nuls, mais 1l n’en peut jamais être ainsi du dernier de ces coefficients, c’est-à-dire de Z,,, dont la valeur est évidemment égale au coefficient A, de z”* dans f(z); je représenterai généralement par Z, le premier des coefficients y, Zo,..., Am dont le module est différent de zéro. D’après cela, la formule précédente, divisée par f(zo) ou Zs, deviendra Z

f (20 +) Zn Zi m pt © Zn PARENTS rte J (20) Zo Z Z

Désignons maintenant par p et w le module et l’argu-

ment de la variable k, par CG et &,, quel que soit u, le

module et l’argument de la quantité ES on aura FT Lu à A4 h — p{coso + isino), 2 — C, (cos &, + é sin x),

et la précédente formule deviendra

—1+C,p"[cos(z® + an) + isin (ro +a,)]+.

+C,p"{[cos(mo+a,)+isin(mo+am»)].

Cela posé, déterminons l’argument w par la condition

120 Fan—=Ts:

d’où cos(no +a,)—=—1, sin (26 +a,;)—=0;

la formule générale qui précède deviendra F (zo + 4) D.

*; (2) n P ) + Ch Cha | cos (r+ I © + nr) é sin (7 I © + an+1)] +... | + Cp" [cos (mo +a,)+isin(mo + a» )]. |

Soient R et R, les modules de f{(z,+ h) et de f(x),

, JDA Ri

le module du premier membre de notre égalité sera D | 0 J

quant au module du second membre, on sait qu'il est | inférieur ou au plus égal à la somme des modules de ses , termes. D'ailleurs (1—C,p*) sera égal à son module si A ® ’ : « ù

‘on donne à p une valeur inférieure à ——: on aura donc, l £ ; » 4 Cr 1

dans cette hypothèse, ) {

R | Ra DU 1 — Cp) EE Crp TPS ERESROPREE

R : Lt C, \ ef) ue, (É 1 Le LIGNES LT er e R UéTRT n P (: SCA P TE p )

Spip

aire De es. D" CES Se Ne? ER 77 LU T7S2 1

SECTION I. — CHAPITRE IIfI. IOI

La quantité entre parenthèses a pour limite l’unité quand on faittendre p vers zéro, et nous savons que cette quantité reste positive pour toutes les valeurs de p comprises entre zéro et une certaine limite 7 que l’on peut assigner. Donc, pour toutes les valeurs de p supérieures à

zéro et inférieures à la plus petite des deux quantités —— (1 et 7, on aura

R MORE KR; Ro

ce qui démontre la proposition énoncée.

De ce lemme résulte immédiatement la démonstration du principe fondamental de la théorie des équations, lequel consiste dans le théorème suivant :

44. Taéorème 1. — Si f(z) désigne une fonction entière de z, d'un degré quelconque m, et dans. laquelleles coefficients soient des quantités données, réelles ou imaginaires, l'équation f(z)= 0 a une racine réelle ou imaginaur'e.

En effet, si l’on donne à la variable z toute la série des valeurs réelles ou imaginaires, il est évident que le module de f(z), qui est essentiellement positif, ne pourra pas s’abaisser au-dessous d’un certain minimum. Ce minimum ne peutrépondre à une valeur infinie du module de z, car nous savons que le module de f(z) devient infini en même temps que-celui de z. On voit alors que le minimum du module de f(z) ne peut être que zéro; car, s'il avait une valeur R, différente de zéro et répondant à la valeur z, de z, on pourrait trouver, d’après le lemme qui précède, une quantité 2 qui donnerait

mod f'(20 + À) Ro,

ce qui implique contradiction.

Il existe donc une valeur finie de z telle, que l’on ait mod f(z)= 0; cette valeur est dite une racine de l’équa-

uon f(z)=0o.

Remarque. — Si l’on remplace la variable z par

x+iy, x et y désignant des variables réelles, la fonction f(z) pourra se mettre sous la forme

Ss)=f(x+ir)=e(s,r)+it(e, y},

o(x, y)etb(x,y) désignant des fonctions réelles de x, y et de quantités réelles connues.

Le module de T2) sera la racine carrée de la somme

[pt r)P+ [x r)P,

et il ne pourra s’annuler que si chacune des fonctions 9 et s’annule. Il s'ensuitque, si & +16 est une racine de l’équation f(z)— 0, les deux équations

(2 es PUR 0 Ÿ ri y)=0o

admettront le système de solutions communes x — 4, y = 6. Si l’on suppose que x et y représentent des coordonnées rectangulaires, les équations précédentes seront celles de deux courbes; & et 6 seront les coordonnées d'un point commun à ces courbes. On voit que la recherche des racines de l'équation f(2) —o équivaut à la recherche des points d’intersection réels des deux courbes dont nous venons de parler, et ces points d’intersection sont alors désignés sous le nom de points racines.

45. Du théorème fondamental que nous venons d’établir résulte la proposition suivante :

Taéorime Il. — Une fonction entière de z du degré m est égale au produit de m facteurs linéaires multiplié par le coefficient de la plus haute puissance de z dans la fonction.

Soit la fonction 1 f(z)—= 102" +A2" 1 +... + Am 13 +A»,

et désignons par &i, &,...,4m, m quantités réelles ou imaginaires quelconques. Divisons f(z) par z—a, et représentons par f,(z) le quotient, par R, le reste de cette division; divisons de même f,(z) par z — à», et nommons f(z) le quotient, R; le reste de cette deuxième division; continuons de la même manière jusqu’à ce que nous ayons employé le diviseur z — a» qui fournira le quotient f»(z) et le reste R. Il est évident que les polynômes f{(z), fi(z), f2(z),... sont des degrés respectifs 72, m —1, m—2,...,etque, dans chacun d’eux, le coefficient du premier terme est A5, d’où 1l suit que f,(z), quiest du degré zéro, se réduira à A6. On aura, d’après cela,

Si l’on ajoute toutes ces égalités, après les avoir multiphiées respectivement par les m facteurs

1, (2—a), (z—a;)(z—a),..., (2—a)...(z—a,,), et que l’on remplace f,,(z) par sa valeur A, 1l viendra F(z)=Ao(z—@&)(z—@)...(z2— a»)

+R,(2— a)... .(2— ami) +...

Dans cette formule a,,a,..., an désignent des quantités quelconques égales ou inégales entre elles; mas

nous savons que l’équation f(z)— o a une racine, et nous.pouvons supposer que 4, soit cette racine : On aura alors R, = o, puisque R, est la valeur que prend f(z) pour z = a. Pareillement l’équation f,(z)—0o a une racine ; nous supposerons que à, soit cette racine et l’on aura R; — 0. En poursuivant ainsi et en supposant que dy Any... Am SOIent respectivement racines des équations (20, fr) 0. Mi honnn R;=0, R;=o,... R,=—o, et la formule précédente deviendra

J(z)=Ao(z— &)(z—@)...(z— a).

On voit que la fonction f(x) ne peut s’annuler que si l’on :

donne à z l’une des m valeurs &,, &:,..., am parmi lesquelles il peut s’en trouver plusieurs égales entre elles; il s'ensuit que :

Une équation algébrique du degré m ne peut avoir plus de m racines.

Si, parmi les quantités 4,, 4:,..., an il y en a p qui soient égales à a;, f(z) admettra le diviseur (z— a, } et l’on dit alors que l’équation f (z) = 0 a y racines égales à a;. Au moyen de cette convention, on peut énoncer la proposition suivante :

Une équation algébrique a autant de racines qu'il ÿ a d'unités dans le nombre qui exprimé son degré.

CorozLaiRe [. — Si a,,a,...,a» désignent les m racines de l'équation