A2 HE, , ,+A, 12 + A

. r 4 A; ’ ’ la somme des racines est égale à — ni & générale-

ment la somme des produits n à n des m racines est

égale à (—1}" ve en particulier le produit des m ra-

cines est (—1)" Am, On obtient effectivement ces égalités en effectuant le produit Aç(z—a;)(z—4a)...(z— a») qui doit reproduire exactement le premier membre de l’équation proposée, eten écrivant que les coefficients des mêmes puissances de z sont égaux de part et d'autre.

CorozLarre Il. — Sx les coefficients du polynôme f(z)sont réels, et que, parmi les facteurs linéaires de ce polynôme, ily en ait n qui soient égaux à z—(p+iq), q étant différent de zéro, il y aura également n facteurs linéaires de f(z) égaux à z—(p —iq); et en conséquence le polynôme f(z) contiendra le facteur

réel [(z— p}?+ g?}°.

En effet, le polynôme f(z) étant décomposé en facteurs linéaires, on a

f(z)=Aolz— a)(z—a)...(z— a);

si, dans cette identité, on change i en — à le premier membre ne changera pas, puisque ses coefficients sont réels ; on aura donc

f(z)= Aofz—a,)(z—a,)...(z— a),

an1

a, désignant généralement ce que devient a, quand on remplace : par —i. Il résulte de là que, si, parmi les facteurs linéaires de f(z), il y en a un ou plusieurs qui soient égaux à z—(p+ig), il y aura précisément un même nombre de facteurs égaux à z— (p — iq).

Corozzarme ILE. — Si la fonction entière f(z) du degré m s'annule pour diverses valeurs de z en nombre

AL" OP ré. Ft 7 Ce" dd e DT < FD Mani 2e" 1e COR ALT

supérieur à M, les coefficients des diverses puissances de z dans f(z) sont identiquement nuls.

En effet, le coefficient de la plus haute puissance de z est nul, puisque autrement la fonction f(z) ne pourrait s’annuler que pour m valeurs de z. La fonction f(z) se réduit ainsi au degré m—1; le coefficient de z”7* doit

être nul pour la même raison, et ainsi de suite.

Limites des modules des racines.

46. Il est facile d’assigner deux limites entre lesquelles soient compris les modules de toutes les racines réelles ou imaginaires d’une équation. Soit

une équation donnée dont le premier membre a pour va-

leur ù Fe ASE Az LE, HA 13 + Âme:

Si l’on pose LE p(cosw + i sine), A, —a;, (cost isin a» ),

puis

P— ap" cos(mo + a) + -tanptoos(m—ne + an )+.. + an COS}

— ap" sin (mo + a) + ap" sin (m—ne+an)+.. + 4» Sin y

le carré du module R de HE) pourra être mis sous la

forme R? — [P cos(mw + a) + Q sin (mo + &o) |?

+ [Psin(mo + a) — Qcos(mo + x); si donc on fait

V —Pcos(mo + &) + Qsin(mo + %;)

— ap" + ap" cos (+9 —&1) + + + COS (172 0 +00 —œm)s ;

on aura, pour toutes les valeurs de p et de w, R? >> V2.

Désignons parale plus grand desmodules 4,,@2,..., 4m,

et ajoutons à V la quantité Di out

afp ip 2h, Hi) —a Rd

qui est identiquement nulle, 1l viendra A ap (e—i—À) ea