Soient

U= A;z2" HA Zn, HA, 12H A, V=B,z" +B,zt+,:,,+B,:2+8B,

deux fonctions entières de z, l’une du degré m, l’autre du degré n, et dont les coefficients sont des quantités quelconques données. Chacune de ces fonctions peut être décomposée en facteurs linéaires, et parmi les facteurs de U il peut s’en trouver quelques-uns qui apparuennent aussi à V. Nous désignerons par D le produit de tous les facteurs linéaires égaux ou inégaux communs à U et à V, et ce produit D sera dit le plus grand commun diviseur des polynômes U et V. Dans cette recherche, les coefficients A, et B, des plus hautes puissances de z, dans U et dans V, ne jouent évidemment aucun rôle, et on peut les réduire à l’unité en divisant les coefficients de U par A, et ceux de V par Bs. Supposons, pour fixer les idées, que 77 ne soit pas inférieur à 7. Si le polynôme V divise U exactemeni, il sera évidemment le plus grand commun diviseur demandé ; mais supposons qu’il n’en soit pas ainsi; désignons par Q le quotent et par R le reste de la division.

On aura U = VQ +R;

si les coefficients A, et B, n’ont pas été réduits à l'unité, l'opération que nous venons d’exécuter a pu introduire des coefficients de forme fractionnaire, ce qui n’a aucun

inconvénient au point de vue théorique; mais on pourra

les éviter si l’on veut, dans les applications, en multipliant U par un facteur constant convenablement choisi, avant de commencer la division. Cela posé, tout polynôme qui divise V exactement divise aussi le produit VO, et, s’il divise en même temps l’un des polynômes UetR, il divisera aussi le second. Il résulte de là que les polynômes U et V admettent les mêmes diviseurs communs que les polynômes V et R: donc, en particulier, celui des diviseurs communs à U et V qui a le degré le plus

élevé coïncide avec celui des diviseurs communs à V et R qui a le plus fort degré; en d’autres termes, le polynôme D que nous cherchons est le plus grand commun diviseur des polynômes V et R.

Nous diviserons donc V par R, et, si la division se fait exactement, R sera le plus grand commun diviseur demandé. S'il n’en est pas ainsi, désignons par R; le reste de [a division de V par R; le raisonnement que nous avons fait plus haut nous prouve que le polynôme demandé D sera le plus grand commun diviseur des polynômes R et R,. On peut continuer de la même manière jusqu’à ce que l’on arrive à un reste R, quisoit indépendant de z, et cela ne peut manquer d’arriver puisque les degrés des restes successifs R, R,,...,R,,, R, forment une suite décroissante. Si ce reste constant R, est zéro, le polynôme demandé D sera égal à AGE mais si le reste constant R, n’est pas nul, les polynômes proposés Ü et V n'auront pas de diviseur commun, et l’on dit alors qu'ils sont premiers entre eux, ou que leur plus grand commun diviseur est l'unité.

De là résulte cette importante proposition :

Taéorëme |. — Si deux équations U— 0, V —0 ont L racines communes égales ou inegales, on pourra former par de simples divisions algébriques une équation D — 0 de degré Le qui admettra ces L racines.

48. On peut tirer de ce qui précède une autre proposition qu'il convient de remarquer, savoir :

Taéonëme Il. — S: U et V sont deux fonctions entières de z, sans diviseur commun, on pourra trouver deux autres fonctions entières de z, X et Y, telles que l’on ait

UX — VY — x,

En effet, si l’on exécute l’opération nécessaire pour trouver le plus grand commun diviseur de U etde V, on arrivera à un reste R, indépendant de z et différent de zéro. On aura alors une suite d’égalités, telles que

U= VQ +R, V=RQ; + R;, (1) R—=R,Q: + R>,

Ru — Rs Qui + Ru, Re ES, hi Q. — R,..

La dernière de ces égalités peut s’écrire (2) R,. de Ry Qu ŒA R,;

ürons de l’avant-dernière des égalités (1) la valeur de R,, pour la substituer dans l'égalité (2), il viendra

(3) Qu Ry-s — (1 + Qu Qu) Ru-o— — Ry;

considérons pareillement l'égalité qui précède les deux dernières dans le système (1), tirons-en la valeur de R,, pour la substituer dans l'égalité (3), et continuons la même série d’opérations : il est évident qu’on formera de cette manière une suite d’égalités dans lesquelles le second membre sera alternativement +R, et — R, et dont le premier membre sera la différence de deux fonctions consécutives prises dans la suite

ROLE RÉOUIRE RER MIERIC VERTE

multiphiées l’une et l’autre par une fonction entière composée avec les quotients Q, Q,, Q:, .... La dernière de ces égalités sera de la forme

et, en désignant par X et Y les quotients de M et N par

la constante + R,, on aura

pm?