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Des fonctions entières dans lesquelles plusieurs facteurs linéaires sont égaux.
49. Taéorëme 1. — Le plus grand commun diviseur entre une fonction entière f(z) et sa dérivée f"(z) est égal au produit des facteurs linéaires multiples qui figurent dans f (z), élevés chacun à une puissance moindre qu'une unité.
La fonction f (z) étant décomposée en facteurs linéaires, soit
f(z)=(z—- a) paie En
on sait que la dérivée f’(z) est le coefficient de la première puissance de 2 dans le développement de la foncton fiz+h)={(z—-a+h)(z—-a+h)...(2—- a, +k); J'\z) f (2)
puissance de k, dans le développement de
fiz+h) h )( ke \ h 7 NN I —- | 1—+ f(2) Zz— 4; Z— 43, oo Z—a
et l’on aura par suite
Ha SE Lu et Let PR NON.
J (2) Z— 4, Z — A 2 — Am
le quotient sera donc le coefficient de la première
mi
S1, parmi les racines &,, &2, ..., 4m, il ÿ en a m, égales
à ai, m2 égales à &, ..., mn égales à a», 1l viendra
Re
z) m. M My Ts PP f(z) Z— 4; Z — 3 — dy
les nombres m,, m2, ..., m, dont la somme est mm étant égaux ou supérieurs à l'unité. Le second membre de cette égalité se réduit à une fraction dont le dénominateur est
(= (sa) ea) et dont le numérateur
+ Mi(z— &)...(z— a,
n’est pas divisible par l’un des facteurs de o (z), puisque toutes les parties de 4 (z) contiennent ce facteur à l’exception d’une seule. L'égalité précédente donne
f(z) = —— XX :
FE x 4(e) et, d’après ce que nous venons de dire, elle montre que J(z) p(z)
tes (z — a)" t(z Tai aa}"s 1, .(z ae ant
est le plus grand commun diviseur des deux polynômes f(z) et f'(z). Le degré de ce plus grand commun diviseur est 713 + Mo +... + Mn—nou m—n.
90. Taéorëme Il. — Si une fonction entière f(z) a des facteurs linéaires multiples, on peut obtenir, par de simples divisions algébriques, le produit des facteurs linéaires qui figurent dans f (z) avec un méme exposant.
D’après ce qui précède, si f(z) et sa dérivée f’(z)
n'ont pas de diviseur commun, le polynôme f(z) n’aura
que des facteurs linéaires simples. Mais, si f(z) et f'(z) ont un plus grand commun diviseur f, (z), le polynôme (3) aura au moins des facteurs doubles, et, dans tous les cas, f,(z) sera le produit des facteurs linéaires de f{(z) élevés chacun à une puissance moindre d’une unité. On peut raisonner sur f,(z) comme nous venons de le faire à l'égard de f(z); supposons généralement qu’on trouve un plus grand commun diviseur f, (z) “A (<) et à sa dérivée, qu’on en trouve aussi un f3(z) à f:(z)et à sa dérivée, etc., que l’on en trouve un enfin re He à fn» (z) et à sa Tes et que ce dernier plus grand commun diviseur soit premier avec sa dérivée. On conclura de là que le polynôme f(z) a des facteurs linéaires multiples de l’ordre 7, mais qu'il n’en a aucun d’un ordre supérieur à 2. En outre, si l’on désigne généralement par Z, le produit des facteurs linéaires de f(z) d'ordre p, pris chacun une fois seulement, il est évident que l’on aura
fn-1l2) SE ) fn—2 (z) + Z; LEE
TA ( z | 7 Zr 2 LIFE ee le: 88 2 Dre. À
AA MES AT PRET PE HARAS 7EM ZT A 7,2, Dee TP Zi IZS ZT.
Si l’on fait
Ja Et
CAR CIE — Q: et fret (z) — Q», u. |
on aura, en divisant chacune des égalités que nous venons d'obtenir par celle qui la précède et en conservant S.— Alg. sup., L 8
la première d’entre elles, Qn —2Z»,
