LÉ: LT

0 = 183 IFR? ZLy2s

Q: EE ES pr Ja, Q; Ed VA VAE se . La Lie

Enfin, en divisant encore chacune de ces équations par celle qui la précède, 1l vient

PQ LR EEEE HAE AOERULS 2:20 Qu Q: Q2 d’où suit que les polynômes Z,, Z:,..., Z,s’obtiendront par de simples divisions.

D'après l'hypothèse que nous avons faite, il y a certainement des facteurs linéaires de l’ordre 7 dans f{(z); mais ceux des ordres inférieurs peuvent faire défaut, et, dans ce cas, les valeurs de Z,,, ou de Z,», ou etc., doivent se réduire à des constantes.

CorozLaire.— La resolution d’une équation qui a des racines égales se ramène à celle d’une ou de plusieurs équalions qui n'ont que des r'acines simples.

Propriété des dérivées des fonctions entières.

51. Considérons d’abord une fonction entière f(z), dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles, el supposons que la variable z reste réelle. Si l’on donne à cette variable une valeur particulière z4, pour laquelle la dérivée /’(z) ne soit pas nulle, et que l’on pose

TE RON Re 5 6 4

on pourra (n° 40) assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de À comprises entre —7 et + r le premier membre de la formule précédente ait le signe de f"(z,). Il s'ensuit que, si f”(z,) est une quantité positive, la fonction f(z) croîtra constamment quand on fera croître z depuis z9—7 jusqu’à z5+7. Au contraire, si f'(z0) est négative, f(z) décroîtra quand z croîtra de zo— r à z5+r. De là résulte la proposition suivante :

Taéorëme [. — La fonction entière f(z) supposée réelle croît avec la variable réelle z, tant que la dérivée f'(z) reste positive, et elle décroit quand on fait croître z, tant que la dérivée f'(z) est négative.

Il faut remarquer que, z croissant de —æ à +, la dérivé f’(z) peut s’annuler une ou plusieurs fois, mais cette circonstance ne peut être l’occasion d’une difficulté. Supposons, par exemple, que f”(z)s’annule pour z — 2, et prenons une quantité g assez petite pour que Z, soit la seule racine de f'(z)—o comprise entre z—g et Zo—+ g; désignons en même temps par À une quantité positive inférieure à g et aussi petite d’ailleurs que l’on voudra. Le théorème précédent s’appliquera sans difficulté, quel que soit À, aux valeurs de z comprises entre Z0— £ et Z—houentrezo,+h et z25+g; or ces deux intervalles se succèdent à la limite quand on fait = 0. À l'énoncé qui précède, on peut, si l’on veut, substituer le suivant :

La fonction entière f (z) supposée réelle croit avec la variable réelle z, tant que la dérivée f'(z) n'est pas négative, et elle decrott quand on fait croître z, tant que la dérivée f'(z) n'est pas positive.