Nous allons établir actuellement un théorème ana

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f 4 14% : , la7 p 44 [4 ADP -S PE 59 28 F « da: ' à i = pre + . É MES

logue au précédentet qui se rapporte au cas général où les coefficients de la fonction f(z) sont des quantités quelconques réelles ou imaginaires, et où la variable reçoit aussi des valeurs quelconques.

Posons z — p (coSw + isinw), et soit F(z) = Aoz"+Aiz"Ti +, .. HA, ou f(z) = Asp" (cosmow +isinmo)+...+A,,.

La dérivée f'(z) a pour valeur J'(z)=mAoz"t+ (m—i)A,z" +...

d’où l’on conclut 2f'(z2) = mAoz" + (m—i)Aiz it... ,;

d’un autre côté, f(z) est fonction entière de la variable réelle p, et si, en se plaçant à ce point de vue, on nomme /f,(z) la dérivée de f(z), on aura

pfilz) = mAp" (cos mo + isinmo)+...,

La comparaison des deux formules précédentes donne

f(z)=phlz) d'où fs) = A (z).

D’après cela, la formule | Ja + 4) — {e) = A Pe) + he | du n° 42 deviendra (1) f(a+ 2) —/(2)= As) + 2e,

e désignant toujours une quantité qui s’annule en même temps que .

Cela posé, supposons que l'accroissement À donné à z ne change pas le module de cette variable et qu'il ait seu-

A AE NC PR MR CEA TOR ET TT ee A CANNES RTE UN 00 LUN n e 1 77 2 s t ‘ \ À : " \ y

lement pour effet d'accroître l'argument © de la quantité d, on aura

2+ h = p[cos(o +9) +isin(o+d)] —= p (cosw + isinw) (cos d + sind),

d’où l’on tire facilement

k ; , Dr De sind ( — tang a) :

la formule (1) devient alors

A ose (- uns 5 | pd “|

ou (2) F(z+h)—f{z) =psnéfifi(z) +] en posant

tang = 0. (2) . (- rang Lo ) =:

h ALT ; Le module de 7 st2sin = 9; donc, la valeur de z étant

donnée, on pourra prendre d assez petit en valeur absolue pour que le module de À soit moindre qu’une quantité donnée quelconque. Dès lors la même chose aura lieu à l'égard de e, et aussi à l'égard des modules des deux parties qui composent la valeur de »; donc enfin, si la valeur absolue de d est suffisamment petite ,le module de » sera inférieur à une quantité quelconque donnée r. Posons

f(z)=P +iQ, f(z+k) =(P+AP)+i(Q+AQ), Jfilz) = PL +éQ,

M4 —+- 66, l'équation (2) deviendra

AP + iAQ — psind {— Q'+iP') + psind (x + 16),

et elle se décomposera dans les deux suivantes :

AP —{— Q'+a)psind, AQ—=(+P'+6)psino.

Puisque le module de « + 61 est inférieur à r tant que la valeur absolue de d reste au-dessous d’une certaine limite

« et 6 seront compris entre —r et +r. D'ailleurs r est aussi petit que l’on veut; done si P’et Q ne se réduisent pas à zéro, les quantités AP et AQ seront respectivement de même signe que —Q'sin d et + P'sind. De là résulte le théorème suivant:

Taéorëme Il. — Soit f(z) une fonction entière de la variable imaginaire z—p(cosw+isinw); posons f(z)=P+1Q, P et Q étant des fonctions réelles et entières de p qui dépendent aussi de l'argument w, et désignons par P', Q' les dérivées des polynômes P etQ prises par rapport au module p. Si l’on attribue à ce module p une valeur déterminée et que l’on fasse croître l’argument w de o à 27, la fonction Q croïtra tant que P’ sera positive et elle décroïtra tant que P'sera négative. Au contraire, la fonction P décroitra tant que Q sera positive et elle croitra tant que Q sera négative.

Théorème de Cauchy.

D3. La variable imaginaire (1) Z—=x +

peut être figurée géométriquement (n° 44) par un point mobile M ayant pour abscisse x, et pour ordonnée y, relativement à deux axes rectangulaires fixes Oxet Oy. Si p et w désignent les coordonnées polaires du même point,

on aura T—pCOS®, ÿ —psSNe,

SECTION I, — CHAPITRE TITI. 119 et, par suite (2) z2—=p{(cos® +isinw),

en sorte que p est le module et w l’argument de la variable imaginaire z.

En outre, si f(z) désigne une fonction entière de z d’un degré quelconque m» dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles ou imaginaires données, on aura, en remplaçant z par la valeur (1),

P et Q étant des fonctions réelles et entières des coordonnées x et y; d’où il résulte, comme nous l'avons déjà dit, que la recherche des racines de l'équation

f{zk= 0

équivaut à celle des points pour lesquels on a simul-

tanément ER TRQULES 0,

et auxquels nous appliquons, pour abréger, la dénomination de racines.

Enfin, si le polynôme f(z) est divisible par la n° puissance de z— 75, sans l'être par une puissance supérieure du même binôme, nous sommes convenu (n° 45) de dire que l'équation f(z)=0 a n racines égales à 2; on a, dans ce cas,

PK) 0, IE LAEET na AA TT) AE mais La dérivée du ni" ordre, f”{z),ne s’annule pas

pour z — 30.

94. Ces notions rappelées, nous nous proposons d’établir ici une proposition importante due à Cauchy et qui constitue l’un des plus beaux théorèmes de l’Algèbre.

La démonstration que nous allons présenter sera fondée sur le lemme suivant :

Leume. — Soient z—x+1y une variable imaginaire et f(z)=P+iQ une fonction entière de z, d’un degré quelconque m P et Q étant des quantités réelles. Supposons que l'équation f(z) = 0 ait n racines égales à Xo + io, 2 pouvant étre égal à 1,et considérons le point G dont les coordonnées sont xo et Yo, relativement à deux axes rectangulaires Ox, Oy. Décrivons une circonference du point G comme centre, avec un rayon p suffisamment petit, et désignons par w l'angle formé, avec la direction Ox, par la direction du rayon GM, de manière que cet angle soit nul quand GM a la direction deOxet qu'il croisse quand le rayon GM se meut toujours dans le méme sens, en s élevant de Ox vers Oy. Cela posé, si le point mobile M, partant d'une position quelconque, décrit la circonférence enlière pour revenir à sa position première, C'est-à-dire

D ge p ; si l'angle w augmente de 27, le rapport GPU

chaque position du point M, a une valeur déterminée, s'annulera précisément autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre 2n, et, en s'annulant, ce rapport passera toujours d'une valeur positive à une valeur négative.

? , P \ : L On pourrait ajouter que le rapport — devient infini

un nombre de fois égal à 27, et qu'à chaque fois 1l

LE

FR

RTS D NO RE Re PR TE Te OR TA LE PES PE CIO EE

passe d’une valeur négative à une valeur positive; mais nous avons voulu réduire notre lemme à ce qu'il a d’essentiel pour l’objet auquel nous le destinons. Il donnera d’ailleurs le complément dont nous venons de parler, si on l’applique à la fonction 1 f(z). Faisons encore une remarque importante : pour que le rapport

P Li : À 3 — ait en chaque point de la circonférence une valeur

déterminée, il suffit que le rayon p ne soit pas égal à la distance du point z, à l’un des autres points racines de l'équation f(z) = 0; mais rien ne limite la petitesse de p, et ce rayon se trouvera assujetti, dans notre démonstration, à être moindre que la plus petite des dis-. tances dont nous venons de parler.

Posons

comme on a, par hypothèse,

ER NAN ES eee NN CRETE

et que f”(z,5) n’est pas nulle, la valeur de f(z) ordonnée suivant les puissances de L sera

(20) Hazle “ee DH, + RES (1) (2) ES FD A I7TE

S1 l’on désigne par p et w le module et l’argument de la variable 2, on aura

k — p (cosw + isino);

représentons en outre par C, et «, le module et l’argu-

4 AE S pi . ; ment de la quantité =——;, de manière que l’on ait, TO pour toutes les valeurs 7, n+1,..., m de u, f#(2)

— C,(cosa,+ ésina, );

129 COURS D’ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.

l'expression de f(z) deviendra

[f(z) — Cr p'[cos(ro + an ) Le isin(zo Er an)]+. né + Chp"[cos(mo+a,) +isin(mo+c,) et l’on aura, en conséquence

P — C,p"cos (no + a) +...+C,p"cos(mo+a»), Q = Cp" sin {ro + an) +...+C,p"sin(mo + an );

on aura aussi, en désignant par Q la dérivée du polynôme Q par rapport à la variable p,

(4) Q TU DE sin (rw+a,) +... +mC,p"T sin (m Dam).

Cela posé, quel que soit l’angle w, on peut faire (5) no +an=K—+ne,

en désignant par K un entier positif ou négatif et par ne un angle compris entre — Scie n Supposons d'abordquelenombreK soitimpair,et posons RE AT CERTES les formules (3) et (4) deviendront alors (—1)P—— C,p"sinre+..., (6) (—1)fQ —+ Cp” cos ne +..., (— 1} Q'— + 2C,0"-! cos ne +...

Soit maintenant 4 un angle positif déterminé, inférieur

AB ; ï 11 ; à — et aussi petit d'ailleurs que l’on voudra; on pourra

(n° 40) assigner une quantité positive r'telle, que dans chacun des polynômes /

ns Ch p" sin 20 + C4: np Les CRIER CPE,

ei LE ei cos 720 Cie CPE DIE SA Ta + Chp7, HnCip'cosr0 +(r+1)Cnript+t +... + mCmp",

Je module du premier terme soit supérieur au module de la somme de tous les termes suivants pour toutes les valeurs de p comprises entre o et. Nous donnerons à p une valeur déterminée au-dessous dela limite 7 ,et cette valeur sera lerayon du cercle que nous avons à considérer. TT

An cet angle tombe en dehors des limites — 0 et +0, la valeur absolue de sin ne sera supérieure à sin 28, et, en

> 4 , . T * D'après cela, e étant compris entre — æ et+ -—) SI nr

conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première des formules (6), surpassera le module de la somme des termes suivants; donc P ne peut s’annuler que si e est compris entre — 6 et + 6. Mais, pour les valeurs de € comprises entre — 8 et +6, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières formules (6), est supérieur au module de la somme des termes quisuivent ; par conséquent(—1)*Q et(—1)*Q sont positifs. Alors le polynôme (—r1)*P décroît constamment (n° 52) quand € croît de —0 à +6; ce polynôme a d’ailleurs le signe + pour e=—0, etila le signe — pour e—+6; donc il s’annule une fois, et seulement une fois, quand e croît de —6 à +8. On voit aussi que (—1)* P passe en s’annulant d’une valeur positive à une valeur négative; et, comme (—1)#Q reste po-

sitif, on peut dire que le rapport G s’annule une fois en

passant du positif au négatif, quand € croît de —0 à +0. Si le nombre K est pair et que l’on ait

KR =2#

la première des formules (6) devra être remplacée par la

suivante :

(—1)P—=+C,p"cosne +...;

T . il en est de

l'angle 9 défini plus haut est inférieur à

même de la valeur absolue de e; d’où 1l résulte que.

cos ne est supérieur à sinz6, et, en conséquence, la T

fonction P ne s’annule pas quand £ varie de ir

T An Maintenant, si, en partant d’une valeur quelconque de w, on veut décrire la circonférence entière, de manière à revenir au point de départ, il sera nécessaire et suffisant de donner à l’entier K 4n valeurs entières consécutives quelconques 0, 1, 2, 3,..., (4n—1) par exemple. À chacune des 2 7 valeurs impaires de K correspondra une valeur de € comprise entre —0 et -+ 0, pour

P 9 laquelle le rapport — s’annulera en passant du positif

au négatif, ce qui achève la démonstration de la proposition énoncée. Nous aurions pu abréger cette démon-

. T . Ha stration en prenant 0 — -— ; MaIs le procédé que nous

An

avons suivi a l'avantage de montrer que les valeurs de

P FL nw + «», pour lesquelles 6 s’annule, ont pour limites les

multiples impairs de ae quand on fait décroître indéfi-

niment l’angle 0.

95. Au moyen du lemme que nous venons d'établir et en faisant usage de considérations ingénieuses que nous empruntons à une Note de Sturm et Liouville (1), on démontre très-facilement le théorème de Cauchy, qui consiste dans la proposition suivante :

TaéorÈmEe. — Soient z une variable imaginaire X+iy, f (z) — P+:Q une fonction entière de cette

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1" série, 1. I, p. 278.

variable, P et Q étant des fonctions réelles et entières des variables x et y. Tracons dans le plan des axes rectangulaires Ox, Oy un contour fermé quelconque qui ne passe par aucun des points racines de l'équation

f LIRE auquel cas le rapport — aura, en chaque point du contour, une valeur déterminée. Si l’on suit le contour ABCD en partant d'un point quelconque À et en marchant toujours dans le méme sens ABCD jusqu'à ce qu'on soit revenu au point de départ, Le rapport

P ; É ; — prendra diverses valeurs, et il passera par zéro

chaque fois que P sera nul, tandis qu'il deviendra in-

fini lorsque Q s'annulera. Cela posé, soit k le nombre

de fois que le rapport ç en s'evanoutssant et en chan-

geant de signe, passe du positif au négatif, K le nombre de fois que le méme rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif; le nombre k ne sera jamais inférieur à K' et l'excès k—k'— À sera toujours égal au double 2u du nombre p des racines égales ou inégales de l'équation f(z)=0, comprises dans la portion du plan limitée

par le contour ABCD.

Le contour fermé ABCD est quelconque, convexe ou non convexe; pour bien fixer le sens dans lequel ce contour doit être parcouru, imaginons un cercle d’un