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rayon aussi petit que l’on voudra, qui touche le contour au point de départ À et qui soit entièrement situé dans l’espace limité par ce contour; en même temps supposons que l’on ait transporté les axes O x et Oy parallèlement à eux-mêmes au centre du cercle. Si l’on parcourt la circonférence du cercle en marchant de l’axe des x vers l’axe des y, lorsqu'on atteindra le point A, la direction du mouvement sur le cercle seraaussi celle du mouvement que nous considérons sur le contour ABCD.

Remarquonsencore que, d’après l'énoncé du théorème, on n'a point à considérer les changements de signe que

; BR : ; ù ; peut offrir le rapport ô quand il devientinfin:; en outre,

il peut arriver que ce rapport s’annule sans changer de

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signe, mais 1l n’y a pas lieu de se préoccuper de cette:

circonstance. Ajoutons que, pour abréger le discours, l'excès À sera dit l’excès relatif au contour donné ABCD.

La démonstration que nous allons présenter se composera de quatre parties :

19 St le théorème énoncé a lieu pour deux contours

ABCA et ADBA qui ont une partie commune AB, il a

lieu aussi pour Le contour total ADBCA forme par leur reunion.

SECTION. I. —— CHAPITRE IIl. 127

En effet, soient p le nombre des racines égales ou inégales comprises dans le contour total ADBCA, et A l'excès relatif à ce contour; soient aussi p’et A’, et A les quantités analogues pour les contours respectifs ABCA

et ADBA. On a, par hypothèse AD Ur Due

mais la somme AÀ’+ À” se compose évidemment de l'excès À augmenté de la somme des deux excès qui répondent l’un à la partie AB du contour partiel ABCA et l’autre à la partie BA du second contour ABDA; il est évident que ces derniers excès sont égaux et de signes contraires; donc on a

A —— ASE A”; d'ailleurs | Br Dear DE donc Ne Le.

Il résulte de là que :

Si Le theorème énonce a lieu pour un nombre quelconque de contours juxtaposés, il a lieu aussi pour le contour formé par leur reunion.

2° Le théorème énoncé a lieu lorsqu'il n'y a aucune racine de l'équation f(z)=—0, dans l'espace limité par le contour donné. En d’autres termes, si l’on au— 0, on a aussi A — 0.

En effet, 1l peut y avoir dans l’intérieur du contour donné comme sur le contour même des points pour lesquels on a soit P—0, soit Q —o; mais, par hypothèse, il n’en existe aucun pour lequel on ait à la fois P— 0, Q = o. Il résulte de là que l’on peut toujours décomposer l’espace limité par le contour donné en plusieurs

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parties telles, que chacune ne renferme dans son intérieur ou sur son contour aucun point pour lequel on ait P — 0, ou aucun point pour lequel on ait Q — 0. En outre, d’après ce qui précède, le théorème de Cauchy subsistera pour le contour donné, s’il a lieu pour les divers contours partiels dont nous venons de parler; il suffit donc de considérer ces derniers.

S1, dans l’intérieur d’un contour et sur ce contour, on n’a jamais P— 0, il est évident que l’on a A — 0, puisque

P ; : | le rapport — ne s’annule pas. Si, au contraire, la fonc-

tion P s’annule, mais que l’on n'’ait jamais Q — 0, la fonction Q conservera le même signe aux divers points

du contour et le rapport — ne pourra changer de signe

qu’en s’évanouissant. D'ailleurs, comme ce rapport re-

prend sa valeur primitive quand on a parcouru le contour entier, 1l est évident que, s’il s’est annulé Æ fois en passant du positif au négatif, il s’est annulé pareillement k fois en passant du négatif au positif. On a donc encore À = 0.

3° Le théorème énoncé a lieu lorsque l'équation fa) — 0 a qu'une seule racine, d'un degré de multiplicité quelconque n, dans l’espace limité par le contour donné. On a, en conséquence, A= on.

Soient ABCD le contour donné et G le point racine

du degré n de multiplicité. Si du point G comme centre, avec un rayon suffisamment petit, on décrit la circonférence MINK, puis que l’on joigne respectivement les deux points M et N de cette circonférence à deux points P et Q du contour donné, le théorème de Cauchy aura lieu, d’après ce qui précède et d’après le lemme du n°54, pour les trois contours juxtaposés KNQODAPMK, MINKM et IMPBCQNI ; donc il a lieu pour le contour proposé ABCD qui résulte de la réunion des trois précédents. Les deux premiers des contours dont il vient d’être question ont la partie commune NKM, et leur réunion forme le contour NODAPMIN; celui-ci a, avec le dernier des trois considérés, la partie commune PMINQ, et leur réunion forme le contour ABCD.

4° Le theorème énonce a lieu, quel que soit lenombre des points racines compris dans le contour donné.

En effet, on peut décomposer l’espace limité par le contour en plusieurs parties qui ne contiennent chacune qu'un seul point racine ; le théorème aura lieu pour chacun des contours partiels que l’on obtiendra ainsi, et en conséquence il aura également lieu pour le contour proposé qui résulte de leur réunion.

Le théorème de Cauchy est donc complétement démontré.

96. Il faut remarquer que la démonstration précédente ne suppose en aucune façon l'existence du principe d’après lequel toute équation a une racine, et j'ajoute que ce principe n’est qu'un corollaire du théorème de Cauchy, lequel peut être regardé dès lors comme le fondement de la théorie des équations. Voici, en effet, une démonstration nouvelle du principe du n° 44, qui est analogue à celle du lemme du n° 54.

S., Alg. sup. — L 9

<tant donnée l'équation f(z ) — 0, traçons deux axes rectangulaires etdécrivons de leurorigine comme cenire un cercle dontlerayon p soit aussi gr ‘and quel on voudra. Soit

(1) F2 Aer EPS NPA Mr A si l’on désigne par C, et æ, le module et l'argument du coefficient À,, et que l’on pose 2 p (cosw + sin w), on aura flz)= Cp” [ cos (mo + a) + ésin (mo + 20)] He. + Cn1p [cos (o + DE) + isin (© + Chats à

+ Cm (COS œm + ÉSIn ne

en faisant, comme précédemment,

f(z) — P + iQ, il viendra P — Gp cos(mo + o) +... + C1 cos (w + PERS à —- Ch COS c Q = Gp” sin(mo ap) He. + CGm1p sin (© + &y—1) + Cm SIN et, en désignant par Q” la dérivée de Q par rapport à p, on aura ainsi (3) Q' = mO)P 10 sin {Mo + &o) ua Osintas2 il

Quelle que soit la valeur de w, on peut faire T (4} mo He RS PES

K étant un entier et »€ étant un angle compris entre