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une nouvelle équation dont les racines aient avec celles de la première une relation donnée. Le cas le plus simple est celui où chaque racine u de l'équation demandée est exprimable par une fonction rationnelle donnée d’une
racine z de la proposée, c’est-à-dire par une fonction
égale au quotient de deux fonctions entières @(z), d(z).
On a alors
S1 l'équation proposée est du degré m, elle aura m ra- CINES Zo; 74 + Zm 1, Et 1l en résultéra, pour u, m valeurs correspondantes wo, y, :.., Um 1, d'où l’on peut conclure que l’équation en uw doit être, comme la proposée, du degré m. Nous reviendrons, dans la deuxième Section de cet ouvrage, sur l’importante question de la transformation des équations; ici nous nous bornerons à examiner le cas particulier où les polynômeso(z)etY(z) sont du premier degré; la formule (2) devient alors
az + b az +6?
(3) pri
a, b, a!', b' étant des constantes données. On tre de la formule (3)
bu —b (4) noms tel
DU et, en substituant cette valeur de z dans l'équation (1), on obtient l’équation demandée, savoir :
b'u—b sf, )=e:
Goo U
il ne reste plus qu’à chasser les dénominateurs, pour mettre cette équation sous la forme
F(u) désignant une fonction entière de u.
Il faut remarquer que la transformation exprimée par la formule (3) peut être réalisée en exécutant successivement plusieurs transformations plus simples qui se présentent très-fréquemment dans l’Algèbre. En eflet,
si a’ n’est pas nul, la formule (3) peut être mise sous la forme ba! — ab’ PE RE LE ee.
a Z + en «a
sl/l (7/1
et l’on voit qu’elle résulte de l'élimination de z! z”,z
entre les quatre équations
LA pa a?
7/2 (24 Z Drome ©
«a Lee te de nes «a
Lorsque a’ est nul, la formule (3) résulte de l’élimination de z’ entre les deux
' a OST il Her, LT
Il résulte de là que les trois formules IUT LOU LIU = SRE Z
qui sont comprises dans la formule générale (3), expriment des transformations élémentaires dont la combinaison produit le même effet que la transformation linéaire la plus générale,
58. La transformation u — «z a pour objet de former une équation dont les racines soient égales à celles de la
proposée multipliées par un nombre donné &; l'équation proposée étant f(z) — 0, la transformée sera
en écrivant z au lieu de u.
On peut toujours supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans f(z) soit égal à 1; alors si, dans l’équation proposée, fizl—= 0 ou z/+ Az +... + A, 3 + À,, —0,
les coefficients A,, A2, ..., À, sont des nombres commensurables ou des expressions algébriques de forme fractionnaire, la transformation précédente permettra de ramener ces coefficients à la forme entière, en disposant convenablement de l’indéterminée «. Effectivement, après avoir chassé les dénominateurs, la transformée devient
ZM + A, az" + À, a2z/71—2 res + À, a—1z+ A, a’! 0;
el il suffira, pour remplir l’objet demandé, de donner à « une valeur telle, que les produits À, «' ne renferment plus de dénominateur.
Il faut remarquer le cas de à — — 1; alors la transformation a pour objet de changer les signes des racines de l'équation proposée. Pour avoir la transformée en — z de l’équation f(z) = 0, il suffit de changer les signes de tous les termes de degrés impairs ou, si l’on veut, les signes de tous les termes de degrés pairs. En faisant le premier changement, si l'équation est de degré pair, et le deuxième, si l’équation est de degré impair, le premier terme sera toujours le même dans la proposée et dans la transformée.
