La deuxième des transformations élémentaires
dont il à été parlé plus haut, savoir u = -; à pour objet Z
136 COURS D'ALGÈEBRE SUPÉRIEURE.
de former une équation dont les racines soient les inverses des racines de la proposée. Si celle-ci est
(x) Az A, Ml Ant Ar —0,
LA e I ke la transformée s’obtiendra en remplaçant z par ro Où, Si
I . Je l’on veut, par -: faisons ce changement, multiplions en- Z
suite par z”, et ordonnons par rapport aux puissances descendantes de z, il viendra
(2) An Amiel PAZ A A0:
C’est ici l’occasion de présenter une remarque importante relativement aux racines qui peuvent devenir infinies. Supposons que les coefficients
A À, À, 2 019 An
dépendent d’une quantité £ susceptible de recevoir diverses valeurs, et que, pour la valeur & = #5, les modules des n derniers coefficients deviennent nuls. Alors, parmi les m racines de l’équation (1), 1l y en a 7 qui se réduisent à zéro pour {= t9, et par conséquent les modules de leurs inverses deviennent infinis ; donc, quand £ tend vers la limite £,, les modules de 2 des mn racines de l’équation (2) tendent vers l'infini; à la limite, cette équation (2) se réduit au degré m—n, et elle n’a plus que m — n racines finies.
60. Il peut arriver que les équations (1) et (2) du numéro précédent coïmcident. Dans ce cas, l’équation proposée est dite réciproque; l'inverse d’une racine quelconque est aussi une racine.
D'après ce qui précède, si f(z) — o est une équation
SÉECTIONNI®— CHAPITRE" III. 137
réciproque du degré m, on aura identiquement a:
fe) —0d2"f (:) , Z
À étant un facteur indépendant de 3. Faisant z = +1, puis z— —1,il vient
fU)=Af(i), f—i)=(—-r) fr).
S1 f (1) et f(— 1) ne sont pas nuls, c’est-à-dire si f(z)
n'est divisible par aucun des binômes z +1, z—1, on voit que À — 1 et que le degré m de l'équation est un nombre pair 2u. L'identité
(1) f(s)= #70) montre que l’on a alors
FE A Ve PR VE ie PEUT + Ati A ZA, st... HA,z + A,
en sorte que les coefficients de deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe.
Supposons maintenant que F(z)— 0 soit une équation réciproque pouvant admettre les racines + 1 et—1, et soit
f(z) n'étant pas divisible par z H1; il est évident que l'équation f(z) — o est réciproque, et en conséquence le premier membre f (z) a la forme indiquée par la formule (2). Maintenant, à cause des formules (1) et (3), on a l'identité
F(z)—{(—1)22 rrr(:) à
LA
il en résulte que, si p est pair, les coefficients des termes également distants des extrêmes dans F(z) sont encore
égaux et de même signe. Mais, lorsque p est impair, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux et de signes contraires; dans ce dernier cas, lorsque 4 est impair, l'équation proposée est de degré pair, et le terme du milieu doit avoir un coefficient nul.
61. Les équations réciproques sont susceptibles d’abaissement, c’est-à-dire que leur résolution peut se ramener à la résolution d'équations de degré moindre. Comme on peut toujours supposer qu’une équation réciproque ait été débarrassée des racines + 1 et — 1 qu'elle peut avoir, elle sera nécessairement d’un degré pair 2, et l’on pourra lui donner la forme
I Ï I Ào +2) + A; - +) +... +Ay (a+ :) + À, = 04
Cela posé, si l’on fait
et généralement
mt Ma = ZT + n°
s . . I puis que l’on multiplie V,, = 2"! +
par x — Z +
zli—1
on trouvera
re n 1 n—2 1 VAUT z PRIERR d'A Fe T° nee
ou VE ie TNA EG i My
On a V; — Z, Vo — 2,
et, en faisant usage de la formule précédente, on pourra exprimer successivement V,, V;, V;:,... par des fonctions de x; il est évident que V, sera une fonction en-
ls
uière de x du degré n. On trouve
Vox — 0,
RAR AET Va —— 4) Eu Dee Vire h rt +, Ve = AS — 5 x —- br,
