La transformation linéaire générale exprimée par

la formule

az + b TES; D RE PEU SLR Ge 0 T'Il

fournit le moyen, à cause des indéterminées a, b, ..., de faire disparaître deux termes d’une équation. Considérons, par exemple, l'équation du troisième degré,

2 EPP EQLTR = 0:

la transformée en u sera

Ao u° + À, u?+ A; u + A; — 0,

SECTION 1. — CHAPITRE IIT. 141 en posant, pour abréger, A9=0"3— Pa'b'?+ Qa'?b'—Ra',

A,=0d'[— 30b" + P (ab + ba) — Qaa] + a'[P6b — Q (ab + ba') + 3Raa' |,

A3—= — b[— 360" + P {ab + ba’) — Qaa] — a[P bb — Q (ab + ba') + 3Raa'], A3= —0%+ Pab— Qab+Raï,

Déterminons maintenant les arbitraires & et a’ de ma-

nière que l’on ait Attée d,rrhe-T O0!

comme on ne peut admettre que ab’ — ba soit nul, puisqu’alors u ne dépendrait pas de z, les deux équations précédentes se réduiront à — 3bb' + P(ab'" + ba’) — Qua — 0, Pbb' — Q{ab" + ba')+3Raa —0;

si on les résout par rapport à bb’ et ab! + ba, on trouvera

bb __3PR—Q@ db 6 PO—9R L'an. De Nr A P?— 3Q ?

À b | + en conséquence, — et — sont les racines de l'équation du «a a é deuxième degré (P2— 3Q)#— (PQ — QR}r+ (Q°— 3PR)— 0.

Désignons par t et £’ les racines de cette équation et

par f (z) le premier mexubre de l'équation proposée; les quantités a et a' restant indéterminées, nous ferons

a = a—= —1; la transformée en u se réduit alors à ui HE à à 141 t' ) ?

ses trois racines seront exprimées par la formule

AA Para

et celles de la proposée seront données par la suivante :

do)

Cette formule peut être ramenée à une expression plus simple, mais nous n’insisterons pas sur ce sujet, qui sera plus tard l’objet d’une étude approfondie ; il nous suffitici d’avoir montré comment la transformation linéaire peut conduire à la résolution générale des équations du troisième degré. Ajoutons que la même transformation fournit aussi la résolution générale des équations du quatrième degré, car elle permet de faire disparaître la première et la troisième puissance de l’inconnue, au moyen d’une équation du troisième degré. La proposée se trouve alors remplacée par une transformée que l’on sait résoudre, puisque celle-ci peut être abaissée au deuxième degré.

De REG —