DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES ET DE L'ÉLIMINATION

De l'élimination.

64. Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions entières d’une variable et des équations à une seule inconnue, nous devons parler des fonctions enuères de plusieurs variables et des équations algébriques simultanées.

Une fonction entière de plusieurs variables est un polynôme entier et rationnel relativement à chacune des variables, et l’on nomme équation algébrique toute équation qui peut être ramenée à la forme V — 0, V désignant une fonclion entière.

Un système de 7 équations algébriques admet, en général, comme on le verra, un nombre limité de solutions, quand le nombre des inconnues est égal à 7. Mais, si ce dernier nombre est seulement 7 — 1, les équations proposées n’admettront point de solution, à moins qu’une certaine équation de condition ne soit satisfaite : les procédés par lesquels on parvient à former cette équation de condition constituent ce qu’on nomme l'élimination, et l'équation obtenue est dite équation finale.

Supposons que l’on ait z équations algébriques entre n inconnues

To Z15 Z>, .. 9 Zn-—19

et que ces n équations soient satisfaites par les valeurs

simultanées 2— A, 7— A, Z9— 9, ve Zn—1 — An15

regardons zcomme une quantité connue, les équations proposées ne renfermeront plus que 7 — 1 inconnues; elles admettront d’ailleurs un système de solutions communes si l’on donne à z la valeur de a; donc l’équation finale en z obtenue par l'élimination de z,,22,...,2», entre les proposées devra admettre la racine a. D’après cela, on peut dire que l’équation finale qui résulte de l’élimination de n — 1 inconnues 34, 2°, ..., Zn 1 entre n équations, contenant en outre l’inconnue Z, a pour racines les diverses valeurs de 3 qui concourent, avec des valeurs convenables des autres inconnues, à former les systèmes de solutions des équations proposées.

Il faut remarquer que l'élimination n’a pas d'autre objet que la formation de l’équation finale; la résolution d’un système d'équations simultanées constitue un problème distinct. A la vérité, pour traiter ce dernier problème, on peut et l’on doit même en général faire usage de l’élimination ; mais on conçoit aussi que l’on puisse aborder la solution par d’autres voies.

Sur le nombre des termes que peut contenir une fonction entière d'un degré donné.

65. Considérons d’abord une fonction homogène et entière des 7 + 1 variables

Z1; Z9, Z3, +. s Zn Zn+1

et du degré m. Si cette fonction est la plus générale de son degré, elle renfermera tous les termes qui, abstraction faite d’un coefficient constant, seront de la forme

Li V4 Œn y n+1 Z1 22 c++ Zn Zn+r

mn di uns tie à oué. té AR. : fe dE

PO OA RU ITR SCT

la somme des expesants &,,@2,...,@n4, étant égale à m. Le nombre total des termes dont il s’agit est précisément celui des combinaisons complètes m à m des n + x lettres Z4, Z9, +. Zngs, COMbinaisons dans lesquelles une même lettre peut figurer plusieurs fois. On sait que le nombre de ces combinaisons complètes est égal au nombre des combinaisons simples de n + m lettres m à m, et voici d’ailleurs comment on peut établir l’égalité de ces deux nombres. Supposons que l’on ait écrit toutes les combinaisons complètes des +1 lettres z,,2,...,2»41,rMmàm, de manière que dans chacune d’elles l'indice d’une lettre ne soit jamais supérieur à l'indice de la lettre suivante ; désignons par À l’ensemble de toutes ces combinaisons. Supposons que l’on ait formé en même temps toutes les combinaisons simples desr+mlettres z,,29,..., zn4m,m à m, de manière que dans chaque combinaison les indices des lettres forment une suite croissante, et désignons par B l’ensemble de ces combinaisons. Il est évident que si, dans chaque combinaison B, on retranche respectivement les nombreso,1,2,3,...,(m—1)desindices deslettres successives, on obtiendra une combinaison À; réciproquement, chaquecombinaison À se changera en une combinaison B, si l’on augmente respectivement les indices des lettres successives des nombres 0,1,2,3,...,(m—1). D'ailleurs, par l'opération dont il vient d’être question, deux combinaïsons différentes de l’un des systèmes À et B se changent en deux combinaisons nécessairementdistinctes ; donc les deux systèmes renferment le mème nombre de combinaisons.

Il résulte de là qu’une fonction entière et homogène du degré m dépendant de 7 +1 variables a, dans le cas le plus général,

(r+i)(n+2)...(n+m) La 07

termes.

S. — Alg, sup., Le 10

* - Vs ‘y "RE ‘ LT C7 7 En", État e- No LA : “ 4 "7 PAS RE | TROT CORPS

Si, dans cette fonction homogène, on pose z»41 =1, on obtiendra la fonction entière la plus générale de 7 variables et du degré m; le nombre total des termes d’une telle fonction est donc aussi représenté par l'expression précédente.

66. Nous désignerons généralement par le symbole N(7, m) le nombre des termes contenus dans la fonction entière la plus générale de 7 variables et du degré m; on aura alors (r+i)(nr+2)...{r+m)

() sh tar PE Re on

le second membre de cette formule ne change pas quand on échange entre elles les lettres #2 et m, car on peut lui donner la forme 10219: NÉE) AS re en du Ent de A 7

ôn a donc aussi

(mæ+i)(m+s)...(m+n)

(2) Sir 102 0 rz

L'expression (1) sé réduit à 1 pour 7 — o, et la même chose a lieu à l’égard de l'expression (2), quand on y fait m — 0; on a donc