N (0, PER

ce qui éxprime simplement une convention. Enfin, dans

ce qui va suivre, l’entier #2 pourra recevoir des valeurs négatives, et nous conviendrons que, pour de telles va-

leurs, on a N(x,m)—o,

lors même que 7 aurait la valeur zéro.

S1 l’on remplace #2 par m — 1 dans la formule (2), on

aura mim+i)...(m+n—:1) FO 72

et par suite, en supposant 7 > 1,

A im palm Pre 1.2.3...(2—1)

ou N(2,m)—N{(r,m—1)—=N(r—1,m).

Cette formule a été établie dans l’hypothèse de m posiüfetden >1; mais, d’après notre définition du symbole N, on reconnaît qu’elle subsiste quand m est nul ou négatif, et quand » est égal à 1. Si l’on y remplace m suecessivement par 71, M—I,Mm—2,..., (M—M; +1), et qu'on ajoute les m7, équations résultantes, 1l viendra

formule qui subsiste évidemment, quel que soit le nombre entier m1, supposé posilif.

Si l’on pose

(4) An N(r,m)—= N{n, m)—N(n, m—m;), la formule précédente pourra s’écrire comme il suit :

Vu = 71 — 1

(5) APN ne) » NME END,

RE QU LR PU LE 0 SO NU A "ASE LR QU TE Ses Mo CUT, es Pre EL AE NA D de

Le

Ré nr

| Am, An N (ze, m) A; N (ze, m) A, N(z, m — M3),

(7) Anidinr te Amam Ni (7, M) ae DE — À, M — ps — ps —.…. — px),

le signe Ÿ du second membre indiquant qu'il faut donner

successivement à u., les valeurs 0,1, 2,...,(m2, —1) dans l'expression N(7—1,m—,), et faire ensuite la somme des résultats.

Soient M2, M3,...,mx des nombres positifs quelconques, et posons encore

AREA AnN(r,m)—=Ay», Am Nr, m)—A,»,A4» N(n, m— me. ),

se. elle {B 15:69 9:16 19,9 7670 018 0e 6,9, 9,9,8,9 eue saone ee) eo 6 ao eo er DDR TONNES

ie |

ao an Nimmlhe AU Ne) EN

Si l’on suppose que k ne soit pas supérieur à #, on

aura, en appliquant successivement # fois le théorème exprimé par la formule (5),

le signe Ÿ exprimant qu'il faut faire la somme de toutes

les valeurs que prend N (n—%, m—p; —h

quand on emploie successivement tous les systèmes de valeurs nulles ou positives des indéterminées pr, us, ..…. Lx, tels que l’on ait

Pa Mis Ua Mes soon UE My

Le nombre des termes contenus dans le second membre de la formule (7) est ainsi égal au produit m, m2...mx. Si le nombre k est égal à 7, chacun des termes dont nous

venons de parler se réduira à 1 ou à o. Supposons qu'ils se réduisent tous à 1, la formule (7) donnera

(8) An dm ei NN TT) = MU TRE