PER PP PE ES RE ER RE

Mais, pour que cette formule (8) subsiste, il faut que la quantité M2 — jy — {Us —..e—{{n, Qui figure sous le

ALL Nr 7? "x A + + 0 Le ’. L y 2 af

signe Ÿ dans la formule (7), ne soit jamais négative, et la condition pour qu'il en soit ainsi est (9) m—ou>{(m —1) +{m —1)+...+(m,—i).

S1 cette condition n’est pas satisfaite, comme les indéterminées fu, He,... varient de o à m,—1, de o à Ma —1,..., respectivement, la somme pus + ue +...+un prendra au moins une fois chacune des m+1 valeurs 0,1, 2,...,m; donc, dans le second membre de la formule (7), où l’on suppose k = n, il y a plus de mn termes égaux à 1, et l’on a alors

(10) ASE SAN LT) © 7e

67. J’établirai encore ici une inégalité qui nous sera . utile dans ce qui va suivre, et que l’on conclut très-facilement des formules (4) et (6). Le nombre que représente le symbole N n'étant jamais négatif, il en est de même des expressions dont la valeur est fournie par la formule (7); alors les formules (4) et (6) nous donnent

DR APN Er med AN (2m 4 Ainsi on aura généralement NOTE EE LENS ACL ASE rz7re |

en changeant m en m— m7, et en écrivant dans le second

membre N(x,m)—A,, Nr, m),

au lieu de N (#7, m— mx), on aura Ninim- m};)=>4», ....4m, N(r,m)—A,.:.4, N(r,m). Cela posé, on a l'identité N(z,m—m,)—N(r.m)—A,, N(n, m),

et en donnant à À les valeurs 2, 3,...,k, dans l'inégalité

que nous venons d'obtenir, il vient

N(r,m—m)>An, Nr, m)— Am, Am, N(7, m), N(r,m—m;)>Am, Am, N(2, M) — As 8m Sn, N (7, M), M RSR a Te PS OR De, 2 CR RNITEUES

N(a,m—m;)>Am...4mN(r,m)—A4,,...Am, N(r, m),.

Si l'on ajoute ces inégalités avec l'égalité qui les précède, on aura

N(2,m—m)+N(r,m—m;)+...+N(r, m— mx) >N(z2,m)—Am,.. .AmdmN(r,m),

ce qui est le résultat que nous avions en vue. Il faut remarquer que le signe > n'exclut pas ici l'égalité.

Du nombre des termes d’une fonction entière, qui ne sont pas divisibles par des puissances données des variables.

68. Soit V une fonction entière et complète du RES m des n variables

215 Z9 rs Zn

et cherchons combien il y a, dans le polynôme V, de termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes

zu z772 RE ZT 4 ? 207 2, MEET

Mi; Moy «.., My étant des exposants entiers quelconques dont le nombre Æ est égal ou inférieur à 7.

Si m, est inférieur à m2, la partie de V qui est divisible par z”‘est égale au produit de ce monôme par une fonction entière du degré m—m,, laquelle doit être un polynôme complet, car autrement la fonction V ne serait pas complète; donc le nombre des termes de V qui sont

SECTION I. — CHAPITRE IV: IOI divisibles par 77: est N(7,m—m;),

et ce résultat subsiste quand m, est supérieur à m, puisqu'alors l'expression précédente est nulle. Il résulte de là que le nombre des termes de V qui ne sont pas divisibles par z7: est

N(x,m)—N(r,m— m;) | ou, d’après notre notation, Am, N(7, M}

Représentons, pour un moment, par X (n, m)le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun dès monômes

m1 Ma À Mk , 1 ? ART ET LE

la partie de V qui est divisible par z}"* est le produit de z7 par une fonction entière du degré m— mx, et dans cette fonction il y a 9 (n, m— mx) termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes z%,..., z##1; ce nombre exprime aussi combien il ÿ a, dans V, de termes qui ne sont pas divisibles par les mêmes monômes, mais qui le sont par z7*. Il résulte de là que le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun des monômes

mm: ma PAP Mk mk UOTE NN EN TES”

est égal à I(2,m) —M{(r, m— my) ou, si l’on veut, à EmT(2, m).

Mais nous avons vu qu'il y a, dans la fonction V, A», N(nz m)termes non divisibles par z#; doncilyena

An Am Nr, m) qui ne sont divisibles ni par z4 ni par z%:; pareillement À, A», Am, N(n, m)est le nombre des termes non divisibles par l’un des trois monômes 271, 372, z°*, et ainsi de suite, en sorte que l'expression

Ac Dm: D NULS représente le nombre des termes de la fonction V qui n'admettent pour diviseur aucun des monômes

M1 Ma Mk Fi PA Ts 7 dite

Réduction d'une fonction entière de plusieurs quantités assujetties à satisfaire à un pareilnombre d'équations donnees.