Soient (x) : Ni 0: V0: .. V

kéquations algébriques des degrésrespectifsm,,m2,...,mx entre les variables

Z1, Z3;, Po Zn

dont le nombre n est au moins égal à X.

Nous supposerons non-seulement que ces équations soient complètes, mais encore que les coefficients de chacune d’elles demeurent indéterminés, en sorte qu'il ne puisse exister entre eux aucune relation. Cela posé, nous établirons la proposition suivante :

Soit S une fonction entière quelconque des variables Z1, 72... dl sera toujours possible de tirer des équations (1) les valeurs des puissances

Z Na Ma mk F2} Z, 9 Ze 9 Re 3}, 9

qui seront ainsi exprimées par des fonctions entières ne

contenant Z1,22,...,2xqu avec des exposants inférieurs äm, > Moye.es 1k respectivement. En outre,par la substitution de ces valeurs, on pourra faire disparaitre de la fonction S tous les termes divisibles par l’un des monômes (2).

Cette proposition est évidente quand le nombre k est égal à l’unité ; dans ce cas le système (1). se réduit à une seule équation de laquelle on pourra tirer la valeur de g; la substitution de cette valeur abaissera le degré de S ; si ce degré reste supérieur à m,, de nouvelles substitutions pourront évidemment le réduire au-dessous de m4. Au surplus, la réduction peut être opérée immédiatement en divisant S par V,; si l’on désigne par — T, le quo- . tient de cette division et par S’ le reste qui est de degré inférieur à 724, On aura

en sorte que, pour atteindre le but proposé, 1l suffira d'ajouter à S le produit T, V;.

Lorsque le nombre Æ est supérieur à 1, si les degrés Mu, Mo, ..., my des équations (1) sontégaux entre eux, on voit tout de suite que l’on pourra résoudre ces équations par rapport à z7*,27*,...,2£+, puisque nous leur supposons, la plus grande généralité possible ; mais on aperçoit moins facilement, même dans ce cas particulier, la marche qu'il faut suivre pour faire disparaître de la fonction S les termes divisibles par l’un des monômes (2). Le procédé est pourtant le même que dans le cas de k— 1; mais il faut l'appliquer d’une manière convenable, afin qu’aucune des substitutions qu’on exécute ne fasse reparaître des termes déjà disparus par des substitutions précédentes.

Quels quesoientlenombreketles degrésm,,ms,..., mx, je dis qu’on peut trouver des polynômes T,, T:,..., Tx

194 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE, tels que la somme (3) S+HTV + DV +... + TV,=S

ne renferme plus aucun terme divisible par l’un des monômes (2); J'ajoute qu'en général ces polynômes ne seront pas complétement déterminés et qu'ils pourront en conséquence être choisis de plusieurs manières différentes. En effet, désignons par m le degré de la fonction S et prenons pour Ti, T,,..., T; les fonctions entières les plus générales des degrés respectifs

m — Mi, M — M, ,..s mm — My,

chacune de ces fonctions devant toutefois être réduite à zéro, lorsque le nombre qui doit exprimer son degré est négatif.

Le nombre des coefficients arbitraires contenus dans le premier membre de la formule (3) sera évidemment

(4) Nfa,m—m)+N(r;m—m)+...+N(r,m— my); d'ailleurs ce premier membre est un polynôme complet du degré m qui renferme N (7, m) termes, et parmi ceux-ci il y en a (n° 68)

Any dm Ge HAN 7e m)

qui ne sont divisibles par aucun des monômes (2). Le nombre des termes de l'expression (3) qui sont divrsibles par l’un des monômes (2), termes que nous voulons faire disparaître, est donc

(5) Nirim) = A A, 6 Ca Nr Sie

Or on a vu au n° 67 que le nombre (4) n’est jamais inférieur au nombre (5); donc les arbitraires contenues dans la formule (3) seront toujours en nombre suffisant pour l’évanouissement de tous les termes divisibles par Jun des monômes (2).

La fonction S est quelconque; si on la réduit successivement aux monômes (2), on voit, par ce qui précède, que chacun de ces monômes sera exprimable par une fonctionentière quine contiendrales variables z,,z°,...,2x qu'avec des exposants inférieurs à m,, m2,..., mx vespectivement.

Elimination de n — 1 inconnues entre n équations algébriques. — Theorème de Bezout relatif au degré de l ’équation finale.

70. C’est en partant des considérations qui précèdent que Bezout est parvenu à établir, comme nous allons l'expliquer, le principe fondamental de la théorie de l’élimination.

Soient

(1) Vi 0; Ni 0 .. Vn1=0

n équations algébriques des degrés m, m2,..., mn res-

pectivement et contenant 7 inconnues Z19 Za9 .. Zn 3

nous supposerons, comme au n° 69, que chacune des équations proposées est la plus générale possible, et qu'il n'existe aucune relation entre les coefficients.

Considérons les 7 — 1 premières équations (1); d’après ce qui a été dit au n° 69, on pourra tirer de ces équations les valeurs de

m1 Ma Mn:

et ? 270? “a à Te

et ces valeurs seront exprimées par des fonctions entières qui ne renfermeront les inconnues 2,4, Z2, ..., Zn 1 qu'avec des exposantsinférieurs à, Ma,..., Mn-4 TCSpectivement.

0 Li “ 2 156 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Cela posé, soit T, un polynôme complet d’un degré indéterminé que je représenterai par m—m,. Si l’on multiplie par T, la dernière des équations (1) qui est du

degré m,, elle deviendra

| (2) HV O0) | et je dis qu’on peut réaliser l'élimination des 7 — 1 inconnues Z4, Z», ..., Zn 1, par le moyen des arbitraires | contenues dans T, et avec le secours des 7 — 1 premières | équations (1). Les arbitraires ayant été ainsi déterminées, l'équation (2) deviendra l’équation finale et le nombrem | exprimera son degré. | Le premier membre de l’équation (2) est un polynôme | complet du degré m, et 1l renferme, en conséquence, N (7, m) termes; mais quand, au moyen des 72 — 1 pre- | mières équations (1), on aura fait disparaitre (n° 69) tous les termes divisibles par l’un des monômes

1 2 Écnel il n’en restera plus que Any CAE An: dm: N A m) 5

( 3) ANNE ir DS TITI durs | | par conséquent, pour que l'élimination puisse s’exécuter, | il faut que, par le moyen des arbitraires contenues dans | T,, tous ces derniers termes disparaissent, à l'exception | des m+ 1 qui ne renferment que la seule inconnue z,.

Ainsi le nombre des termes qu'il faut faire évanouir est f (4) Anna A4mAmNtr,m)—(m+it)

Le polynôme T, étant complet et du degré m— my, 1l renferme N (n, m—m,) termes; mais le nombre des coefficients dont on peut disposer pour l'élimination est beaucoup moindre. En effet, il est évident qu'avant d’effectuer le produit T, >< V», qui doit former le premier

RE ALT RP PRET CAN ER A PSE OU 4 s Va - w. re

CAN PES ù à Res" 4 Ù |

membre de l’équation (2), rien n'empêche de faire disparaître de T} tous les termes divisibles par l’un des monômes (3); 1l n’y aura d’arbitraires dans T, que les coefficients des termes restants dont le nombre est

Ann * ° On 0 DUT mt RE Mn);

en sorte que, pour plus de simplicité, on doit supposer tous les autres nuls, puisqu'il est possible de les faire disparaître. Enfin on peut choisir arbitrairement l’un des coefficients du polynôme T, amsi réduit, car cela revient à multiplier l’équation (2) par une constante; donc le nombre des arbitraires utiles pour l'élimination est seulement |

(5) Anne AmAmN(r,m—m,)—x.

On voit d’après cela qu’on pourra faire disparaître les INCONNUES 74, Zo, +. Zr 1 de l'équation (2), en résolvant simplement un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d’inconnues, si les expressions (4) et (5) sont égales entre élles. En écrivant que ces expressions sont égales, 1l vient

Mb dr GmN(rim) Apres A A, N(r,m—m,)

ou m — An, A “re “An, Am, N (ze, m);

or, le second membre de cette formule n'étant pas supérieur à m, il est nécessairement égal au produit MiMo...My, d'après la formule (8) du n° 66; car la condition (9) que suppose cette formule sera évidemment remplie. On a donc

INIST SON RS P dès lors énoncer le théorë ivant :

EL OT peut és lors énoncer le théoreme suivant :

Le degré de l’éguation finale qui résulte de l'élimi-

nation de n — 1 inconnues entre n équations à n inconnues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

71. La démonstration que nous venons de présenter repose sur ce fait, que les coefficients arbitraires du polynôme T, sont complétement déterminés par les équations du premier degré auxquelles ils doivent satisfaire. Or, bien que le nombre de ces équations soit égal à celui des arbitraires, et que les équations proposées aient la plus grande généralité possible, on pourrait craindre de se trouver ici dans l’un des cas d’incompatibilité dont l'existence est bien connue; il est facile de montrer qu’il n'en peut être ainsi.

En effet, supposons que les équations proposées se réduisent à

mi er NE UN RS

na

re Mz Le 54 Mn s AS soie 0; 34 oo —0; …… Th ——<2n 1—0,

a étant une constante donnée. Dans ce cas, on a m VA ts F — 24)

et la fonction qui réalise l'élimination peut être déterminée a priori. Si, en effet, on pose ALFA mm — m; Mas e «My M = ——) My

le polynôme T} aura pour valeur

LS WA MS ml

__ ,(n!—1)}m (m'—2)mn Tr —= 2, MO TRUE,

car, en employant cette valeur de T,, on a

RUREME m À ie ne < 2, ROUE)

ou, à cause des 72 —1 premières équations proposées,

mt TiVr =, 04

Il est évident que, si l’on applique à ce cas particulier la méthode générale du n° 70, on obtiendra cette même valeur de T, que nous venons de former; 1l en résulte que les équations qui déterminent T, ne peuvent offrir d’impossibilité en général, puisqu'elles n’en présentent pas quand on donne certaines valeurs particulières aux coefficients des équations proposées.

Nous ajouterons encore une remarque fortimportante. Le raisonnement du n° 70 a conduit, par l'élimination de n—1inconnues entre z équations, à une équation finale dont le degré est égal au produit des degrés des équations proposées ; mais on peut se demander si ce degré ne serait pas susceptible de s’abaisser par l’évanouissement de quelques termes, ou s’il ne serait pas possible, en suivant une voie différente, de déduire des équations proposées une équation finale de degré moindre. Il est aisé de voir qu’il n’en est rien, tant qu'il s’agit d'équations générales; effectivement, dans l’exemple que nous venons de considérer, on reconnaît a priori que l'équation finale est

et son degré est égal au produit des degrés des proposées. Or ces dernières sont comprises dans les équations générales du n° 70; donc l’équation finale qui en résulte est nécessairement comprise dans l'équation finale qui se rapporte au cas général.

On arrive à la même conclusion en considérant 7 équations des degrés my, m2, ..., mA respectivement, dont chacune soit décomposable en facteurs liféaires de la forme

An 24 Ana Hi. + nn + A, &y, >, … étant des coefficients indéterminés. Le système de ces équations peut évidemment être remplacé par MM: 112.5: M1; systèmes formés de 7 équations du pre-

ME PT AE RE ROUE Te DORE RG CSN NRC

À e | : " « - à y è En

mier degré; chacun de ceux-c1 fournit une équation finale du premier degré, et le produit des m équations finales ainsi obtenues est l’équation finale relative au système proposé.

Dans les deux cas que nous venons de citer, il est évi- … demment impossible de tirer des équations proposées une équation en 2»,

p(zr}=0,

dont le degré soit inférieur à m1; donc la même chose est également impossible dans le cas des équations générales.

72.-L’analyse que nous venons de développer montre qu’on n’obtiendrait pas la véritable équation finale, dans le cas où le nombre des équations est supérieur à 2, si au lieu d’éliminer les inconnues à la fois, comme nous l'avons fait, on voulait procéder par éliminations successives; car supposons le cas des trois équations générales des degrés respectifs m,, m°, m;, entre les inconnues Z1, 33 Zs3. Si l’on élimine z, entre la première équation et chacune des deux autres, on obtiendra deux équations finales des degrés mn, m; et m, m3, puis l'éhmination de z, entre ces deux dernières fournirait une équation dontle degré pourraits’élever jusqu'à n° m2 m3,tandis que la vraie équation finale est seulement du degré m, ms m3. Le cas des équations du premier degré estle seul où l’on puisse procéder par éliminations successives.

Sur la résolution des équations algébriques simultanees.

73. Lorsqu'on sait former l’équation finale qui résulte de l’élimination de 7 — 1 inconnues entre » équations données, on peut aussi, d’après une remarque due à Liouville, déterminer les valeurs des inconnues éli-

minées qui répondent à chaque racine de l'équation fi nale. C’est ce que nous allons développer.

Reprenons les n équations

(r) VS 0 Vs 10; AL NÉ dm

des degrés respectifs 77,,m°, ..., m, entre les inconnues Z, Ze, +. Zn, Et Supposons, comme nous l’avons fait Jusqu'ici, que ces équations aient la plus grande généralité possible.

Posons

(2) 3 — «&; Z1 + Go 29 Am ou mi 7 D A TIC

Xi, Lo, Ay 1 étant des coefficients indéterminés, et prenons z pour inconnue à la place de z, ; 1l faudra, dans les équations (1), remplacer z, par la valeur

{ Zn —2— (MZ HZ +... Hays 2

cette substitution ne changera pas le degré des équations,

et celles-ci deviendront

(3) io, 0 .., ER 0

S1 l’on élimine z,, 3:,..., z,, entre les équations (3), on obtiendra une équation finale en z dont le degré m

sera Mm = M; Ma, . Mn

et qui contiendra dans ses différents termes les 7 — 1 indéterminées @,, &,..., %»1. On peut chasser les dénominateurs qui seraient fonctions de æ&,, œ,... et, en ordonnant le premier membre par rapport à ces indéterminées, l’équation finale en z sera

(4) (2) + [oi Fi1(2)+ Fo (2) + an Frs (z)] +. — 0:

On retrouvera l'équation finale relative aux équations proposées en attribuant la valeur zéro aux indéterminées S.— Alg. sup., 11

2; on a effectivement alors z = z,, et l’équation (4) se réduit à