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mais l’indétermination des quantités & va nous fournir des résultats plus étendus. Si, dans l'équation (4), on
remplace z par sa valeur tirée de la formule (2) et que l’on fasse usage des formules connues
Z] Z; de tort i ln Zn—1
F(z) = (en) + ENST: (Zn) Tous
pie er opere release as ae nes
fs (zn) +...)
il viendra, en ordonnant par rapport aux «,
fa) {a [af'{e) A (NI +an1[2n 14 S (2) + Fr (z»)] + r.. O.
Cette équation (6) résulte de la combinaison des équations (1) entre elles, etelle est nécessairement satisfaite, quelles que soient les indéterminées &, par tous les systèmes de valeurs des inconnues susceptibles de vérifier les équations proposées. Si l’on suppose que ces indéterminées soient nulles à l'exception d’une seule «,, le premier membre de la formule (6) se réduira à un polynôme ordonné suivant les puissances de «,, et il ne pourra être identiquement nul, à moins que les coefficients des diverses puissances de &, ne soient nuls. Aïnsi, en particulier, on aura, outre l’équation (5),
Zf (Zn) + Fa (zn) = 0,
pour toutes les valeurs 1, 2, ..., (7 —1) de l'indice u, ce qui donnera
(nas Prten) Ze ie F(zn) DA “ie ie (&n), (Zn) f'(2n) É fa
Dans le cas particulier où le premier membre de chacune des équations (1) est un produit de facteurs du premier degré à coefficients i ‘terminés, l'équation (5) n’a point de racines égales, et par suite elle n’en peut avoir dans le cas général. Donc, si l’on remplace z, par l’une des racines de l’équation finale (5), la dérivée f”(z,) ne sera pas nulle, et les formules (7) ne deviendront point illusoires, à moins que l’on n’attribue des valeurs déterminées aux coefficients des équations proposées.
74. La méthode précédente conduit à d’autres formules qu'il convient de remarquer et qu'on obtient en égalant à zéro les termes que nous n'avons pas considérés dans la : formule (6) et qui contiennent en facteur soit une puissance supérieure à la première de l’une des indéterminées æ, soit un produit de puissances de plusieurs de ces indéterminées. Par exemple, si l’on représente par F,, (z) le coefficient de «,+, dans le premier membre de l'équation (4), les indices p et y pouvant être égaux, et qu'on égale à zéro les coefficients de «? et de æ,a, dans l'équation (6), il viendra
Her) Fi(zr)
2 a TRS
(8) 18,2 & ne SAN Zp Fou (z») 0;
San) 225 + LE, (2») Ai ea PEINE EN DEN EM STE
La seconde de ces formules (8) donne cette valeur de z,,
Ari rote (9) SE NTAPAENES
Les formules (8) et (9) sont plus compliquées que les formules (7); mais, quand on passe du cas des équations générales à celui des équations particulières, les formules (7) peuvent devenir 1llusoires, et dans ce cas les formules (8) et (9) les suppléeront, Celles-ci peuvent à
leur tour devenir illusoires et exiger l’emploi d’autres formules qu'on pourrait pareillement tirer de l’équaion (6); mais il n’est pas utile d’insister davantage sur ce sujet.
75. Les équations (à) et (7) sont, d’après notre analyse, une conséquence nécessaire des équations proposées; soit V,= 0 l’une quelconque de celles-ci, et désignons par V, le résultat que l’on obtient quand on remplace dans V,, z,, 22,..., 3n 1 par les valeurs (7). La fonction V, sera de la forme
ARE Pu(z + TP entire D, (z») étant une fonction entière. Effectuons la division de D,(z,) par f(z,), de manière à obtenir un reste 9, (z) de nu inférieur à rm, et désignons par Ÿ,(z,) le quotent de cette division, on aura
Re F(zn)T pfzn) + qufzn) BE {4
oder
Cela posé, puisque les équations (7) résultent des proposées, il en sera de même de l'équation V, : 0, laquelle se réduit à ulZn) 10:
Or celle-ci ne peut avoir lieu que siv,(z,) est identiquement nul, car ce polynôme est au plus du degrém—r+, et nous savons qu'on ne peut tirer des équations proposées une équation finale en z, d’un degré inférieur à 7». La précédente valeur de V, se réduit donc à
V, = Au 2 te:
LE AE z, TA
d’où il résulte que les équations proposées sont satisfaites
ue PE HEAR, 2 | = +
16) SECTION [. — CHAPITRE IV. à
par tous les systèmes de valeurs des inconnues tirées des équations (>) et (7); ce quiest la réciproque de la proposition établie au n°74. Ainsi se trouve démontré cet
important théorème :
Le nombre des systèmes de solutions communes à plusieurs équations renfermant un pareil nombre d’inconnues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefftcients demeurent indéterminés.
En particulier, deux lignes des degrés m, et mase coupenten m, m: points ; trois surfaces des degrés m:,m:,m3 se coupent en M; Mas points.
On dit qu’une courbe algébrique plane ou gauche est de l’ordre m, lorsqu'elle est rencontrée en m points par un plan quelconque. L'intersection de deux surfaces des degrés 2, et, est donc en général une courbe de l’ordre My Mo, Car le nombre des solutions communes à trois équations des degrés m1, m2: et 1 est m3 x<m2>xX<1. Ainsi l'intersection de deux surfaces du deuxième degré est en général une courbe du quatrième ordre; mais il peut arriver, dans les cas particuliers, que cette courbe se réduise, soit à une courbe du troisième ordre et à une droite, soit à deux courbes du deuxième ordre, c’est-à-dire à deux coniques.
Remarque sur la methode d'élimination de Bezout. —
Methode d’Euler.
76. La méthode d'élimination de Bezout, exposée au n° 70, consiste à multiplier l’une des équations proposées,
(1) Ne 0: Vo 0 ., Ne 0:
par un certain polynôme, et à employer les autres équa-
tions pour faire disparaître quelques-uns des termes contenus dans le produit ; l'élimination s'achève ensuite en disposant convenablement des arbitraires que renferme le polynôme multiplicateur. Mais, d’après ce qu’on a vu au n° 69, cette manière d’opérer revient à ajouter entre elles toutes les équations, après les avoir multipliées par certains facteurs ; donc, si l’on représente par
(2) He 0
l'équation finale qui résulte de l’élimination de z,, z°,..., Zr 1 entre les équations (1), on aura identiquement
F(En ) A ANA cl RCA EN ee En mt de
T,, T:,..., T, étant des fonctions entières des inconnues convenablement choisies.
77. Dans l’/ntroduction à l'Analyse infinitésimale, Euler a indiqué, pour le cas de deux équations, une méthode qui revient au fond à celle de Bezout. Représentons les deux inconnues par x et y et supposons que les équations soient l’une du degré m, l’autre du degré 7; ces équations ayant été ordonnées par rapport à y, représentons par
Vi P MH Q JU ER PUIS pm...
Ve = P'7? HOUY TIRER ESPACES
leurs premiers membres. La méthode d'Euler consiste à multiplier respectivement les polynômes V, et V, par les facteurs indéterminés
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à exprimer ensuite que les coefficients des mêmes puissances de y sont égaux dans les produits M, V,,M, V:, et
SECTION I. — CHAPITRE IVe 167
à éliminer enfin les m + n — 2 indéterminées À, B,..., A’, B',..., entre les m+n—1 équations du premier degré PA’ QP/—P'A+Q'P, PB’ + QA'+RP'—P'B+Q'A+R'P, PC' + QB'+RA’ + SP! —P'C+Q'B+R'A+S'P,
ainsi obtenues.
Les m + n — 2 premières des équations précédentes donnent pour les indéterminées A, B,..., A’, B',..., des valeurs fractionnaires auxquelles on peut supposer le même dénominateur A; les facteurs M, et M: auront donc la forme |
T, et T: étant des fonctions entières de x et y, et il est évident que notre équation finale sera
T, V, + To Ve ==), 78. S'il s’agit, par exemple, d'éliminer y entre les deux équations du deuxième degré Der QRÉERE 0, P'y? + Q' 7 + R=*6, on sera ramené par le procédé d'Euler à éliminer À et À’ entre les trois équations
