ET

D—d(b'e"— bc) +d(b"c— be") + d'( be! — ble),

E —e(b'e"—b"c)+ e'(b"c— bc") + e”{ bc! — b'c),

= flhet—27 c') + f' (be — bc”) + f"( bc! — Lie

D'=d{c'a"— ca) + d'{c"a — ca") d'icu== ca),

(3) Fe e"(c'a — ca”) | ae

caca

fab" — ab) +f

a"b— ab") + d'{ab'— ab a"b— ab") +e”{ab'— ab), a"b— ab")+f" ab! — ab).

nn PR TR der,

Alors, en éliminant successivement deux des quanütés y?, yz, z? entre les équations (1), on obtiendra les suivantes :

Hy°+2D y +2E z2+F —=o, (4) 2Hyz+2D'y+2E'z +F — Hz? +2D"y+2E"z2+F"—o, qui pourront suppléer les proposées ; mais nous leur donnerons une autre forme qui permettra de faciliter les calculs ultérieurs. Si l’on pose, pour abréger l'écriture, R —HF +2(D'E — DE’) +(E?—4EE"), (5){ R° HF + 4(D’E — DE”) —2(D'E —2D'E—2DE), R’” — HF” sd (D’E' y D! E”) te DE suc 4 DD”),

et que l’on multiplie les équations (4) par H, on pourra

” r CR le ce ; AU | de PC HN LES % j

leur donner la forme suivante :

(Hy +E') (Hy+2D—E )+2E(Hz+2E’—D')+R—0o, (6) 2(Hy+E') (Hz+D') —8D’E+R'—o, (Hz + D’) (Hz+2E"— D')+2D’(Hy+2D—E')+R’—0;

nous représenterons respectivement par NS V», V:

les premiers membres de ces équations (6).

Pour former, d’après la méthode de Bezout, le premier membre de l'équation finale demandée, nous multiplierons la fonction V, par un polynôme indéterminé T, du sixième degré qui ne renferme aucun terme divisible par y? ou par z?; les équations V, = 0, V;—o seront ensuite employées pour faire disparaître du produit T, V, tous les termes qui contiendront en facteur y? ou z?. Construisons, pour cet objet, les formules suivantes :

(Hz+D')V;—2E V,=(Hy+E') (Hy+2D—E!) (Hz + D} — 4{D'E(Hy+2D—EF/) +R(Hz+D')—2R'E,

(Hy +E')V;—92D’V, —(Hz+D')(Hz+2E" —D')(Hy-+E — 4{D'E(Hz+2E"-— D') + R/{Hy + D') — 2 RD”, (Hz+D')(Hz+2E”—D')V,—(2E(Hz:+2E/—D')+R]V, —=(Hy +E)(Hy + 2D—E')(Hz+D')(Hz+2E —D/ —4D'E(Hy+2D—E')(Hz+2E’-—D') —2RD"(Hy+2D—EF)—2R"E(Hz+2E"-— D')—RR#;

en égalant à zéro leurs seconds membres, nous obtiendronsles équations nécessaires pour l’évanouissément des termes que nous aurons à faire disparaître.

SECTION == CHAPPERGUIVS EPL

Nous donnerons au polynôme T, la forme suivante :

T,—=2X(Hy+2D—E')(Hz+2E/—D') (9) +2(Y+E X)(Hz+2E’—D' +2(Z+D'X)(Hy+2D —E')+U,

X, YŸ,2, U désignant des fonctions entières et indéterminées de x; la première de ces fonctions, X, est du quatrième degré; Ÿ et Z sont du cinquième; enfin U est du sixième degré. Il est presque superflu d'ajouter que c’est uniquement pour les convenances du calcul que nous écrivons Ÿ + E’X et Z + D’X au lieu de Ÿ et Z. Comme nous l’avons dit, les formules (7) et (8) seront employées à faire disparaître du produit T, V, les termes divisibles par y? ou par z?; il est facile de voir qu’on produira cet effet en ajoutant au produit T; V, les seconds membres des trois formules (7) et (8) respectivement multiphiés par les facteurs

—{(Z+D'X),, —4(Y+HEX), —4X,

ce qui revient à ajouter à T, V, les produits T, V,, T3 V3, dans lesquels les facteurs T,, T; ont pour valeurs

T,=—4X(Hz+D')(Hz+2E’—D') Fe) + 8D’(Y+E'X)—4(Z +D'X)(Hz+D'),

T3,—=—4X[2E(Hz+2E—D')+R]

— 4(Y+E'X)(Hy +E')+8E(Z +D'X|}.

Effectivement, si l’on pose (ri) OT; Vi + Te Vo + Ts Va puis que l’on fasse, pour abréger,