Supposons que À soit une fonction de x, et po

sons r À — —:

$ r ets étant des fonctions entières premières entre elles. Comme R' 7 R” r?

ND) — = -:9 R S R s?

on aura

RAS RES rer

d’où 1l suit que le degré de r ou de s ne peut surpasser l’unité, et, comme l’une de ces fonctions au moins ne se réduit pas à une constante, la quantité Æ sera nécessærement indépendante de x.

D'après les résultats obtenus au numéro précédent, on aura

D'S+(E"—D'}rs®+(D—E')r#s+Er—0o.

Supposons que s ne se réduise pas à une constante; l'i-

dentité précédente prouve que E est divisible par s; d’ailleurs E est du premier degré : on a donc

Fes

« étant une constante. En substituant à E cette valeur et divisant par s, 1l vient

D's$+(E"— D'}rs+(D—E +ar)r—=o; on voit de même que D—E + or est divisible par s, et, en désignant par 6 une constante, on aura

D—E = —cr+65s;

SECTION I. — CHAPITRE IV. 179 puis l'équation précédente divisée par $ deviendra D’s+(E"—D'+6r)r— 0;

enfin la fonction E/— D'+ 67 est encore divisible par s et, en désignant par y une nouvelle constante, on aura

E—D'——67+7ys, puis D'—=— yr.

* En résumé, nos hypothèses nous ont donné les résultats E—acs, D—E ——cxr—+65, E"—D'——6r+74s, D'——7yr;

et l’on aurait évidemment obtenu les mêmes formules, si l’on avait supposé r fonction de x, s pouvant être une constante.

Au lieu de la constante À qui entre en ne dans les expressions de R, R’, R”,nous enintroduirons une autre g déterminée par l’équation

k = (6? — 4ay) DE Ge QUES ot ENT fon (62 — 4oay) — #; alors les équations (6) de nos trois surfaces deviendront

[Hy+E'+{(g+6)s][Hy+E' —2ur—{g—6)s]+24s[Hz+D'+(3—6)r|—0, [Hy+E' +{g+6)s](Hz+D')— . +-6)s[Hz+D'+(g—6)r]—0, [Hz +D'+{(3—6)7][Hz+D'+2ys—(9+6)7]—2yr[Hy+E' + (g+6)s]-0o.

Ces équations sont satisfaites en même temps que les deux suivantes :

Hy+E +{(g+6)s—o, Hz D:-E (g — Gr O, dans lesquelles g a l’une ou l’autre des deux valeurs

a V(E2—4 ay) —Kk; les surfaces que nous considérons ont donc deux droites communes non situées dans le même plan. On voit aussi que le reste de l'intersection

de deux des trois surfaces se compose de deux autres droites ; chacune de celle-ci coupe les deux premières droites en deux points qui sont sur la troisième surface, et en conséquence elle ne peut rencontrer cette troisième surface en d’autres points.

Ainsi dans le cas dont il s’agit 1l n’y a plus d’équation finale.

84. Considérons enfin le cas où l’on a identiquement R= 0, R'= 0, R’— 0. Les premiers membres des équations (6) deviennent alors V,—(Hy+E')(Hy+2D—E')+92E(Hz+2E"-— D), V,—(Hy+E')(Hz+D')—4D’E, V,—=(Hz+D')(Hz+2E’—D')+2D"(Hy7+2D—E'),

et il en résulte (Hz + D’) V, — (Hy + 2D —E') V,— 2EV, —0, (Hy +E') Vs — (Hz+2E"—D')V,—2D”V,—o.

La droite qui a pour équations Hy +E' —=0o, E—o appartient aux deux surfaces V, et V,, et, d'après les identités qui précèdent, le reste de l'intersection de ces deux surfaces appartient à la troisième surface V3. Pareillement, la droite déterminée par les équations Hs D= 0, 4D%—0 appartient aux surfaces V.et V;, et le reste de l’intersection est sur V,. Enfin la droite Hy +2D—E —0o, Hz+2E”’—D'—o

appartient aux surfaces V, et V;,, et le reste de lintersection appartient à V,. Il résulte de là que les trois surfaces considérées ont ung courbe du troisième ordre commune.

Les trois droites qui complètent les intersections des surfaces deux à deux ne se rencontrent pas en général, et en conséquence elles rencontrent la courbe du troisième ordre. Dans le cas qu’on vient d'examiner il n’y a point d’équation finale.

Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, et nous remarquerons en terminant que nous n'avons pu rencontrer le cas où les surfaces données ont une courbe du quatrième ordre commune, parce quenous avons exclu les hypothèses dans lesquelles la constante H se réduit à zéro.

Sur les équations simultanées dans lesquelles les coeffcients ont des valeurs particulières déterminees.

85. En ne considérant jusqu’à présent que des Systèmes formés d'équations générales dans lesquelles les coefficients sont indéterminés, nous nous sommes af-

-franchis de toutes les difficultés auxquelles les cas par-

ticuliers peuvent donner naissance. Nous allons présenter ici quelques considérations relatives à ces cas particuliers; mais 1l n’entre pas dans nos vues d’approfondir en ce moment cette partie importante de la théorie des équations; nous reviendrons sur ce sujet dans la deuxième Section de cet Ouvrage.

Les systèmes formés de plusieurs équations simultanées entre un pareil nombre d’inconnues peuvent être distingués en deux genres, suivant qu'ils admettent un nombre limité ou un nombre illimité de solutions. Dans le premier cas, l'équation finale relative aux équations proposées doitévidemment être comprise dans l'équation finale quiserapporte au système composé d'équations générales, en même nombre que les proposées, et respectivement de mêmes degrés que celles-ci. Dans le deuxième cas, il n’y

a plus, à proprement parler, d’équation finale; cependant il peut arriver que, parmi les solutions des équations proposées, solutions dont le nombre est, par hypothèse, illimité, il y en ait quelques-unes, en nombre fini, qui se distinguent des autres par une propriété particulière et dont la détermination mérite d’être l’objet d’une recherche spéciale; cette recherche conduira donc à une équation finale d’une nature particulière. Nous avons rencontré un exemple de ce cas (n°81 et 82) dans le problème qui a pour objet la recherche des points d’intersection de trois surfaces du deuxième degré qui ont une droite commune ou une conique commune.