Considérons, pour terminer, la forme quartique composée

/+ÀH

et désignons par H;^, t.. i^, j) les valeurs de H, É, i, / pour cette nouvelle fonction. On peut les calculer avantageusement par le procédé d'Aronbold (N" 243), comme nous allons l'indiquer. Il faut remplacer dans les premières les coefficients flo, «i, c^2, «i par

«t: «1» «3C2, «5 étant les coefficients de la forme H. On aura, en premier lieu, par la formule de Taylor,

Hà = H + A^H +

Or,

H = {ahyalhl ; par l'application du procédé (5, on trouve

En substituant, il vient

Hx=H{i-i.À') + /-(i>A + i/X').

On sait que t est le déterminant fonctionnel de /" et de H ; t)^ sera également le Jacobien de / -f- /H et de H. ; par suite, on a

ti =

itX + i;À>, i-i^^

df du

dx\ dxx

d£ dH

dx2 dxt

D*oii on tire t

La forme nourelle t\ ne diffère de t que par un facteur constant. Pour calculera, on prend le développement

Or, et, on en déduit

donc, on aura

i = {ahY;

Si = 2 (a^y = 2/,

\H = 2 (RWy = 2 ^- ; o

Enfin, pour déterminer j\ , on écrit d'abord

/^ = /+Hy + 7— JV-+

car; est du troisième degré, et il est représenté symboliquement par

^- = {aby(ac)^[bc)\

Une première opération ô donne

6; = 3(a6)»(aH)*(6H)*;

mais^ si dans l'expression

h;* =: (aby albl

on remj Iact> les x par les symboles H, on obtient t

par suite, ^ ^

Une second application du procédé ^ conduit à la valeur

a*; = 3.2(aH')MaH)MHH')'.

On sait que

et, en introduisant les symboles H' au lieu des a?, on a

(aH)» {aWf (HH')' = ^ («H')* = | ;

par conséquent,

(J'y = îy.

Enfin, il vient encore d'après l'expression ci-dessus av = 3.2 (irH')» (H"H)MHH')^ Remarquons que l'expression

(H''H7(H''H)«(HH0' représente le 7 de H. On sait que

/ = («H)% c'est-à-dire que ; s'obtient en substituant aux x les symboles a At f dans H^ ; de même, pour trouver le / de H, prenons le Hessien du Hessien :

et remplaçons les x par les symboles H' de H ; il vient

{j(aWY~iim')^ = lf

Conformément à ces résultats, on trouve finalement

j = /■ + i '■''» + î if>^' + (i /' - J5 i') ''■'■ On arrive encore aux valeurs que l'on vient d'obtenir par la formation directe des cr ' iposés. Par définition, on a :

Hi= [/•+/H,/-+AH]' = (r,/)=' + 2)1 (/, H)« + X«(H, H)',

OU bien

En second lieu,

i: = if+m, Bxv = [f + 7H, H (I - 1 z;.«) + /•(!,> 4- -î y/»n

= (I - i »/-,(/, H)' + (ii/ + l;7^)(^./^

+ ;l(I--^•/^MH,II)' + /(ia/+l;/*)(^,n^

mais,

donc

En troisième lieu,

n = [/+AH,/'+ >H]« = if, lY 4. 2?, (f, H)' + /' (H, H)',

Enfin,

OU bien,

A = ( I - i il'') / + (irt + i /A') î + ^ ( I - i «•?'') i + > (i A + 1 A') /,

c'est-à-dire,

Il est temps de terminer celte introduction à la théorie des fnrmp- i^e briques. Les principes de la méthode symbolique que nous venons d'exposer, en restant dans le domaine des formes binaires, se généralisent d'eux-mêmes pour une forme à un nombre quelconque de variables. Or j^eul comprendre maintenant l'utilité et l'avantage de cette méthode pour l'étude des fondions algébriqies en général; elle constitue une des idées les plus fécondes émisas depuis peu dans la science. Les développements considérai 'es qu'elle a reçus aujourdTiui occupent déjà une place importante dans l'anal se mathématique.