HH')* = (H, H
et cet invariant n'est pas distinct de i.
Remplaçons encore dans (3) les 3/ par les c et multiplions par Cx. Il vient
(/,H)5 = (c^Y CxS^x = (ahY {acY {bc) b^c^ = o,
car ce produit change de signe en permutant b et c. Enfin, la dernière polaire fournit l'invariant
y =^ (AH)* = (cH)* = {aby (ac)« {bcy.
Si on réunit les formations indépendantes que l'on vient d'obtenir, on a le tableau suivant :
/=a*, ^ = {f,fy = (abYalbl,
t = (/, H)' = (fiH) al^l = [aby (cb) clalb^,
i = (A /)* = {aby, j = (/. H)* = {aUy = (aby (acy {bcy.
C'est le système complet de la quartique. Il existe entre ces fonctions une relation fondamentale qui s'obtient en appliquant à < la formule du numéro 247. On a
Or
il reste à calculer (H, H)' ou le Ilessien du Ilessien. Soit le développement
(ab) albl = A' [[ah) albl] + f (œy) A^ [{ab}' albl] + ^ {xy}' A [(abj' «..&.,.] + i {xyY {aby.
Le premier et le troisième terme du second membre sont nuls; on peut écrire
(ab) albl = I (xy) H^HJ 4--(^2/)^
Remplaçons les y par les symboles H',, — H', et multiplions par H^. Il
viendra
(ab) {bWy alK = f (IIH')^ HIH,» +- H,*,
(ab) {hWy alK = I (H, H)2 + - H.
ou bien
D*un autre côté, on a aussi
{bW)' E'jiy = A [{buy u'M + ? M i^^y (A H)^ = (/>H')' n;&x = o.
et comme il reste
{bHyKby = ^-{xy).
Remplaçons les y par les a et multiplions par aj. On trouve
{bWy (ab) n'^al = -aa:al=^f.
Si on substitue cette valeur dans (/r), on aura finalement
(H,H)=^ = 3^//'-ltH.
D'après ce résultat, la relation entre les formes du système sera
^57. Nous avons déjà calculé les composés de H avec lui-même; il faut maintenant combiner les formes f^W^t et montrer que les invariants et les covariants qui en résultent sont des fonctions rationnelles des formations du système de la quartique. Si on applique la méthode ordinaire pour déterminer les composés de /'et de H avec t, on trouve des résultats compliqués et diffi-
ciles à interpréter. On arrive plus rapidement au but au moyen de la fonction suivante à deux séries de variables
En lui appliquant la formule de Clebsch, il vient
ttiHJ — a* m = A*D> -f 2{x7j) A^D'ûcp + J^ (xyy A^D'DJ(p + I {xyY ADÛ^© -\- { {xy)' û>. L'emploi du procédé 12 conduit aux résultats :
Q.'o = (aH)« [al^l — ft^HJ), û'(p = (aH)« (a^Hy + a^Hx),
Il faut encore se rappeler que, dans le développement, l'opération D a pour effet de remplacer y par x ; il s'ensuit que
D*(p = o, D^ûcp = 2 («H) a|H| = 2«*, D»02(p ^ o, DO'cp = 2 (aH)3 a^Hx = o.
Par conséquent, le développement se réduit à
ou
'6) alH* — aJH* = 4 {xy) tlt'^.
Si on applique l'opération D à cette égalité en tenant compte de la relation
B[{xy)^] = -^{xy)J)'\>,
t^ étant une fonction du degré ^ par rapport à y, on trouve
(7) «xH^Hx — alaAM^ = 5{xy t'Jl,
(8) «^HJH» — aJa|H*= 2(ôc?/)f^«y.
Ces équations, à commencer par la dernière, donnent la première, la secondv; et la troisième polaire de la forme
i« =(aH)al.HÎ.
Il sera facile d'en déduire les composés correspondants de /"et de H avec t. En premier lieu, posons dans (8j, yi = h, y3 = — &i et multiplions par 6|; il vient
f, {bnybini - (abyaibiut = 2{bt)bîti = 2(/, ty -.
par suite, (9) (A'V=iQ/''-H').
Dans la même égalité substituons aux y les symboles H'2, — H'i et multiplions par H'I; on trouve aussi
f. {mvY\\l%' — {awyaiw'^wt = 2 (H, ty,
ou bien
/'(i;r-i^H)-^rH = 2(H,o'
et, par conséquent,
En second lieu, remplaçons dans (7) les y par les b et les H'; multiplions, dans le premier cas, par bx et, dans le second, H'^. On obtient
/•(6H)-^6xH. + (ab^a^bAli = 3(^ 0', /•(HH')HIxHi — {a\V)'aAnm = 3 (H, 0'les produits symboliques des premiers membres étant nuls, on a
(11) (A0* = o. (FI,0* = o.
En troisième lieu, substituons dans (6) aux y les symboles 6 et H'; il vient
f{b^y-{ahY\\ = ^{f,t)\
/*(HH')* — (aHTH = 4(11,0'; d'où
(H,0' = l(J^•V-yH).
Afin d'arriver aux derniers composés (f^ ty^ (H, ty, considérons le développement
+ «2 M' ^[{aUy^.a.] + ai(xyy (aH)*.
Appliquons l'opération A aux deux membres; en remarquant que le produit symbolique du troisième terme au second membre est nul et que : A {xyY = o, il vient
(aH)ajHlHy = A*«!^ + a, A [(^.y) A^ ^/'l,
R.empIaçons les y par les symboles h ; on aura
(ail) {abf (feH) Hl = (/•,<).-}. 1 (5, (^ (f ;
mais (/, /)^ =0 et la forme du premier membre change de signe en permutant a et b; donc
Par la substitution des symboles H', on trouve également que
t85H. Composés du covariant t avec lui-même, La forme t étant du sixième degré, les premier, troisième et cinquième composés sont nuls. Afin de déterminer le second, remplaçons dans (7) les y par les symboles t' et multiplions par t'I; on aura
ou c'est-à-dire,
On tire de cette égalité
('. ir=-Tï 6»' - 2/H/ +'g* /=)•
En second Heu, pour trouver {t, ty, permutons les variables dans (7); il vient
Si on substitue aux y les symboles t\ et si on multiplie parf'x, on trouve
[atjm^lt', - al {at) {Utyt', = ^itt'jUlC
Les produits du premier membre sont nuls ; car on peut les regarder comme provenant de certains composés avec les formes : {f. t)* =0, (H, t)* = 0. Donc
it,ty = o.
Enfin, la sixième polaire de
t'^ = {a\\)aînl étant
par la subtitution aux y des symboles t\ on aura
[tt'Y = (ftH) {at')' (Hf)» = - (ai)' («H) (fH)^ Or, le produit du second membre est le quatrième composé de H avec la forme
par suite, il vient
«. «)• = - [(/■. ty, «]* = -{ [jf - 'H, H]'
= -ilifAH)'-î\El,H)<], c'est-à-dire,
On voit donc que tous les invariants et les covariants que Ton obtient par les composés de /*, H, < sont des fonctions rationnelles des diverses formations du système de la quadrique.
