DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS ET DÉVELOPPEMENTS DES DÉTERMINANTS

1. Lorsqu'on échange de toutes les manières possibles les lettres d'un produit de n facteurs

abc ... A7,

on obtient un nombre de permutations égal à

Elles se distinguent les unes des autres par la disposition des lettres, mais elles ont la même valeur algébrique. Ecrivons, dans chacune d'elles

et toujours suivant Tordre naturel, les indices i, 2, 3 n\ ces

permutations où la succession des lettres change de l'une à l'autre formeront des produits différents. D'un autre côté, étant donnée l'une d'elles, par exemple, ftiCafts . . . /„, en disposant les lettres dans l'ordre alphabétique, il vient : «56^02 .../», et les indices ne sont plus dans l'ordre naturel':

des nombres; à toute permutation entre les lettres, en correspond une autre entre les indices. Il en résulte qu'en partant du produit

aib2C5dn ... In,

où les indices et les lettres se présentent dans l'ordre normal, on trouve les mêmes résultats en permutant les lettres sans toucher aux indices ou en permutant les indices, en laissant les lettres dans l'ordre alphabétique. Cela étant, nous appellerons permutations du produit de n éléments

tous ces résultats différents provenant soit de l'échange des lettres, soit de réchange des indices.

Quand deux lettres ne se trouvent pas dans l'ordre alphabétique dans une permutation, on dit qu'elles présentent une inversion; il en est de même pour deux indices qui ne sont pas dans l'ordre naturel des nombres. On détermine les inversions d'un produit en comparant le premier élément à tous ceux qui le suivent, le second à tous ceux qui le suivent etc. Ainsi, dans le produit Cidifza,ei,b6, il y a huit inversions savoir : ca, ch, da, dh, fa, fe, fh, eh; le produit ttib^Cido n'offre pas d'inversions par rapport aux lettres, mais il en présente cinq par rapport aux indices; ce sont: 43, 41, 42, 31, 32.

On partage les permutations en deux classes, les permutations paires et les permutations impaires. Une permutation est paire ou impaire suivant qu'elle présente un nombre pair ou impair d'inversions. Dans les six permutations

abc, cab, bca, . acby bac, cha,

les trois premières sont paires et les trois autres impaires; la première n'a pas d'inversions; on regarde zéro comme faisant partie des nombres pairs.

Dans la théorie des déterminants, il est utile de considérer comme positives les permutations paires, et comme négatives les permutations impaires; dans ce qui va suivre, les expressions « permutations paires et impaires, » « permutations positives et négatives » auront la même signification.

On distingue encore les permutations circulaires ; on appelle ainsi celles que Ton obtient avec un produit donné, en plaçant successivement au dernier rang le premier élément sans toucher aux autres. Ainsi

abcde, bcdea, cdeab, deabc, eabcd,

sont des permutations circulaires.

9 Une permiUation change de classe par l'échange de deux éléments. Supposons d'abord que deux élî'menls a et \) soient consécutifs, et considérons la permutation

(jc) mah^

où M et N représentent respectivement l'ensemble des éléments qui précèdent a et qui suivent h; par l'échange des lettres a et 6, elle devient

{cl') M6aN.

S'il n'y a pas d'inversion entre a et h dans (a), il y en aura une dans (a'), et réciproquement; mais les éléments de M et de N conservent la même relation avec rt et ?j; il en résulte que les permutations (a) et (a') sont nécessairement de classe différente.

Supposons, en second lieu, que les éléments a et h soient quelconques ; on peut représenter, dans ce cas, la permutation par

(|3) MaP&N,

P désignant l'ensemble des p éléments qui séparent a et h. Par p échanges d'éléments consécutifs, elle deviendra

((3') Ma6PN,

et par p -\- i échanges analogues, l'on aura :

((3'') MfePaN.

On doit donc faire 2p -\- i échanges consécutifs de deux éléments pour passer de (j3) à (|3") ; donc la classe de la permutation nouvelle est différente de la première.

Il résulte de cette propriété que les permutations paires et impaires d'un produit sont en même nombre; car à une permutation renfermant deux éléments a et h dans l'ordre ... a ... h ..., en correspond une autre où ces éléments sont dans l'ordre inverse ... h ... a ..., et on vient de démontrer qu'elles sont de classe différente.

Nous ferons encore remarquer que deux permutations circulaires

abc ... If bc .., la

de n éléments seront de même classe ou de classe différente suivant que n — i sera pair ou impair; on passe, en effet, de l'une à l'autre par ?î I échanges de deux éléments consécutifs.

3. Première définition d'un déterminant. Un déterminant de Tordre ?i est la somme algébrique des permutations d'un produit de n éléments

obtenues, soit par l'échange des lettres, soit par l'échange des indices. On rencontre des expressions semblables dans la résolution algébrique des équations Ju premier degré à un nombre quelconque d'inconnues. Pour les équations

axX-\-hiy -\- CiZ == di^

azcc -\- bzy -\- C2Z =^ di.

ŒsX -\- bsy -]- CsZ = di, on sait que le dénominateur commun des inconnues est ;

aib2Cs — aibsC2 -\-a2bsC1 — a^biCs -\- a-,biC2 — aJjiCi.

Cette expression algébrique se déduit du produit aiftaCs en permutant les indices ou en permutant les lettres. Dans le premier cas, on écrit successivement chaque chiffre et, à côté, les permutations des deux autres; ce qui donne

on laisse les lettres dans l'ordre alphabétique, et on leur donne respectivement pour indices les nombres de ces diverses permutations; il vient ainsi :

(iibiCsf ai6jC2, aibiCs, (t2biCis as&iCj, ^36201.

Enfin, on attribue le signe -\~ aux permutations paires i, 4, 5, et le signe — aux permutations impaires 2, 3, 6.

Si on opère sur les lettres, on écrit successivement chacune d'elles, et, à côté, les permutations des deux autres; on obtient alors

abc, acby bac, bca, cab, cba.

On donne aux lettres de chaque groupe les indices i, 2, 3, dans le môme ordre ; on trouve de cette manière

(tibiCsi aiCj&5, &ia2Cs, bidasf CiCt2?>5, Ci6aû^3.

Il reste à attribuer aux permutations paires 1,4, 5, le signe -}-> et aux permutations impaires 2, 3, 6, le signe — pour obtenir le déterminant du troisième ordre.

Il est souvent avantageux de prendre pour les coefficients une même lettre affectée de deux indices; le système des équations est alors

«1 la? + a, 8?/ -]- a, j^r = i/u,

aisx -\- a^iy -\- ai-^z = t/j*.

Le dénominateur des inconnues est toujours la somme algébrique des permutations du produit awa^ia-^z des éléments disposes en diagonale aux premiers membres. On les trouve, soit en permutant les premiers indices sans toucher aux seconds, soit en permutant les seconds sans toucher aux premiers. Il vient ainsi les deux expressions identiques

(ii\(i22(i3h — ^11^32^23 — aiyaiia^z -)- a2iaii(i{z -\- a$\a\2Ci2s — asictuats,

Lorsqu'on forme les diverses permutations du produit aih2Ct. chaque lettre reçoit successivement les indices i, 2, 3; le déterminant du troisième ordre renferme donc les 3^ = g quantités

dly bt, Cl,

a-2y bi, C2, ttst bs, Cs, et, sous la seconde forme,

fiai) fî22) CtiSt

ct5if <î3j, cisô ;

ce sont les coefficients des inconnues dans les équations. Considérons le cas général d'un système de n équations à n inconnues,

aix -{~b,y -]- •" -\- liV =pi, (liX -\-biy -\- »" -^ l2V = P2i

anX-\-bny -\"*"^lnV^=Pn»

Le dénominateur commun des inconnues est la somme algébrique des permutations du produit aib2Cz...ln des éléments de la diagonale des

premiers membres; c'est un déterminant de Tordre n renfermant les n"^ quantités

rti h\ ... l\

ft2 tj

an bn

qui, dans le cas général, doivent être considérées comme différentes. On peut le former en permutant les lettres et en conservant les indices dans leur ordre naturel, ou bien en permutant les indices et en écrivant les lettres dans l'ordre alphabétique. Avec la notation à deux indices, il faudrait permuter une série d'indices en laissant l'autre invariable.

4. Deuxième définition et notation particulière d'un déterminant. Nous venons de voir qu'un déterminant renferme un nombre carré d'éléments ; de plus, l'ensemble des premiers membres des équations offre Taspect d'un carré; on est ainsi amené à une notation en carré entre deux traits verticaux pour représenter une telle expression algébrique, savoir :

ft.

Il est à remarquer que les éléments du produit a\b2Ci .., In dont les diverses permutations constituent le déterminant sont disposés sur la diagonale qui réunit le premier élément au dernier.

Avec la notation à deux indices, le tableau précédent serait :

an ai 2 a\5 ... a\„ a-il a-ii ttii ... a^n

Cl'Si an Cl/ts ... ttsn

(^nl ani anô

ttn

On appelle éléments conjugués ceux qui occupent le même rang horizontalement et verticalement, par exemple, «12 et ^21» ^n et a^u

a-yf et as2i etc. Lorsque les éléments conjugués sont égaux, on dit que le déterminant est symétrique; ce qui aura lieu pour le déterminant qui précède avec la condition a^» = ««r. Enfin, si l'on pose a,, = a,2 = '" = ann = o, le carré ne renferme que des zéros sur la diagonale principale; on dit alors que A est un déterminant à diagonale vide.

Cette notation conduit à une deuxième définition d'un déterminant. Étant données w' quantités

tti

bs .

(In b„

disposées sous la forme d'un carré ayant n lignes horizontales et verticaleS; on fait le produit des éléments de la diagonale auquel on attribue le signe -|-; le déterminant de ces quantités est la somme algébrique des produits n hi n obtenus en prenant de toutes les manières possibles un élément et un seul dans chaque ligne, les produits de même classe que celui des éléments de la diagonale étant affectés du signe -[- et les autres du signe — .

Le terme provenant du produit des éléments de la diagonale se nomme ter7ne principal.

D'après cette définition, chaque terme d'un déterminant contiendra sans répétition et dans un certain ordre tous les indices i, 2, 3, ... n\ se sera une permutation du produit a\b-iCs ... /„ et tous les produits n à n représenteront l'ensemble des permutations du terme principal.

Il n'est pas nécessaire pour que la notation en carré représente un déterminant que les éléments soient des lettres affectées d'indices, et dans l'ordre que l'on vient d'indiquer; ces éléments sont des quantités quelconques pouvant se suivre de n'importe quelle manière. Ainsi les expressions

abc b c a c b a

a2 (32 / sont des déterminants du troisième ordre. On les fait rentrer dans la

définition précédente, en assimilant par la pensce leurs éléments à ceux du déterminant type du troisième ordre

ftl ^1 Cl

fto ^2 C2

a^ bs Cs

Il est inutile de se préoccuper comment on pourrait former sans se tromper tous les produits n à 7i conformes à la définition; on trouvera plus loin des formules commodes pour calculer un déterminant sans qu'il soit nécessaire de déterminer séparément toutes les permutations du terme principal.

La notation en carré pour représenter un déterminant est très heureuse; elle met devant les yeux l'ensemble des quantités qu'il renferme, et elle se prête très bien à l'étude des propriétés de cette expression algébrique; elle n'a qu'un inconvénient c'est de tenir beaucoup de place ; aussi on emploie souvent les notations abrégées

2 ± (libid ... Inj {aihzCz ... In), [CbxhiCz ...ln\

pour désigner un déterminant; c'est le terme principal seul entre parenthèses ou accompagné de 2« On peut même parfois sans inconvénient supprimer les indices et écrire A = {abc .,. /).

5. Nous pouvons déjà signaler quelques conséquences immédiates de la définition précédente. On emploie généralement le mot ligne pour indiquer la disposition horizontale des éléments et le mot colonne pour la disposition verticale. Cela étant, un déterminant ne change pas lorsqu'on substitue les colonnes aux lignes. Ainsi l'on a :

En effet, les déterminants ayant le même terme principal, ils seront identiques d'après la manière dont on en déduit tous les autres. Avec la notation à deux indices, on peut écrire

«Il

ax2

ait

asi

et l'on voit que la substitution des colonnes aux lignes revient à échanger les indices dans chaque élément.

En second lieu, un déterminant change seulement de signe lorsqu'on permute deux lignes ou deux colonnes. On a, par exemple,

àJ^-'W

^2 ht

ai bs

car cette modification revient à échanger l'indice i avec l'indice 2 ou la lettre fi avec la lettre 6 dans les différents termes du déterminant; or, on sait que, dans ce cas, la permutation correspondante change de signe; tous les termes des deux derniers déterminants auront la môme valeur absolue que ceux du premier, mais leurs signes seront différents.

Si un déterminant renferme deux lignes ou deux colonnes identiques, leur échange est indifférent; d'un autre côté, comme cette opération change le signe, on devrait avoir A = — A; par suite, A = o. Ainsi l'on a :

ftl

e. Déterminants mineurs. En vertu de la notation en carré d'un déterminant de l'ordre n, il est évident que la suppression de p lignes et de p colonnes laissera un carré ne renfermant plus que 71 — p lignes et n — p colonnes. On peut ainsi obtenir une série de déterminants d'ordre moins élevé que l'on appelle mineurs du déterminant primitif. Soit

an On Cn . • • H/» tn

supprimons, par exemple, la ligne et la colonne qui renferment l'élément fti il viendra le déterminant de l'ordre n — i

ki I2 A3 Is

kn In

= 2 ± b%Cs ... /n.

qui s'appelle premier mineur ou mineur de la première classe de A par rapport à rélément a\. Comme on peut répéter celte opération sur chaque élément, un déterminant de l'ordre n possède autant de mineurs de la première classe qu'il renferme d'éléments. On les désigne généralement par les grandes lettres A, B, C, ..., portant le même indice que l'élément correspondant. En les réunissant dans l'ordre des éléments, ils formeraient le tableau suivant :

A2 Bj C2 .*• Ks Lo

Si l'on prend la notation à deux indices,

an a\2 an ... am

a^i a 22 a-js ... a2n

ani an2 an5 les premiers mineurs se désignent par

An Au A,5 .

Aai A22 A23

Ai„

Anl An2 An5 .,, Ann.

Lorsqu'on supprime deux lignes et deux colonnes quelconques, le déterminant de l'ordre ?i — 2 restant s'appelle second mineur ou mineur de la seconde classe du déterminant primitif. En laissant, par exemple, les deux premières lignes et les deux premières colonnes, on trouve le déterminant

les lignes et les colonnes supprimées ont en commun les éléments du déterminant

et le déterminant de l'ordre n — 2 qui précède est le second mineur de A par rapport à ce déterminant du second ordre.

En général, par la suppression de j) lignes et de j) colonnes, on trouve un déterminant de l'ordre n — p que l'on appelle mineur de la j)^^' classe de A correspondant au déterminant de Tordre p formé par les éléments communs des lignes et des colonnes supprimées.

1. Développeinent d'un déterminant suivant les éléments d'ime ligne et d'une colonne. Soit le déterminant de l'ordre n

= 1 ±1 aib2Cz ... kn-iln.

an On Cn • . . 'n

Les différents termes de A qui renferment l'élément «i s'obtiennent en permutant de toutes les manières possibles les autres éléments; ce qui donne le déterminant de Tordre n — i, 2 zb 620$ .., h résultant de la suppression de la première ligne et de la première colonne. Le déterminant A renfermera donc une première série de termes ayant «i en facteur représentés par

aCZ i hiCid/i ... In.

En échangeant a et h, il vient

6j2 it (t2Csdi .,, In

pour l'ensemble des termes renfermant ^i ; il faut le signe — à cause de la permutation de a en b, La somme désigne le déterminant obtenu en laissant la première ligne et la deuxième colonne.

En changeant 6 en c, on trouve également Texpression

Ci2 dz dibidk ... In) qui représentera la suite des termes ayant d en facteur ; la Somme

désigne encore le déterminant provenant de la suppression de la première ligne et de la troisième colonne ; ainsi de suite. L'ensemble des termes contenant It sera représenté par

(— i)"~'Zi2 àz a2b'oCi ... kn-i.

Or, par définition, les sommes qui accompagnent les éléments ai, — &|, j^Cif ••• ( — i)"""'^i sont les mineurs de la première classe par rapport à ces éléments. Il en résulte que nous aurons la formule suivante :

A=a,A, +/>iB, +C.G, -1 [-/.L,,

avec cette condition que, d'après la composition du déterminant, il faut attribuer aux mineurs des signes alternativement positifs et négatifs. Le second membre de cette égalité renferme un nombre de termes représentés par

n{i .2.3 .., n — i)=zn\

comme le déterminant A.

En suivant le même raisonnement et en permutant successivement les indices deux à deux, on arrive aussi à la relation

A = «1 A| -|- a2k2 + ^5 A3 + • • • + ct»An

oîi l'on doit donner aux mineurs des signes alternativement positifs et négatifs. C'est la formule qui donne le développement de A suivant les éléments de la première colonne.

, Il est évident qu'il existe un développement semblable pour chaque ligne et pour chaque colonne. Afin de fixer le signe des mineurs dans chaque formule, on ramène la ligne ou la colonne que l'on considère à la première place par des permutations de lignes et de colonnes, en observant que le déterminant change seulement de signe par un nombre impair de ces permutations, tandis qu'il conserve le même signe pour un nombre pair. Ainsi l'on aurait

A = ft2A2 -j- ?>2B2 -j- C2C2 4- •- 4" ^2l'2,

A = (hAz + hô^5 -{- CsCj -\ \- IsLs,

dans la première formule, on alternera les signes en commençant par le signe — pour A2 ; car, pour ramener la seconde ligne à la première place, il suffit d'un écharge de, deux lignes; dans la seconde formule, il faudra

commencer par le signe -[- pour As, puisqu'il faut deux échanges de lignes pour ramener la troisième au premier rang; et ainsi de suite. Appliquons ces principes au déterminant du troisième ordre

A = tti bi Cl

as hs Cs

En mettant le signe des mineurs en évidence, l'on aurait :

A = «lAi — 6iBi +CiCi = — a2A2 + &2B2 — C2G2 =a3Â3 — hshs-^-dtst A = aiAi — a2A2 -\- asAz== — hiBi -\-b2Bi — hsBs= CiCi — C2C2-I-C3C6,

ou bien, en remplaçant les mineurs par leurs valeurs