Cl

ft2

-bs

ai a^

ai ai

bi b.

— as

— bs

En vertu des explications précédentes, on peut opérer comme suit pour trouver le signe d'un mineur par rapport à un élément quelconque. Afin de fixer les idées, proposons-nous de trouver le signe du mineur de d^ dans un déterminant de l'ordre n. Admettons que l'on marche sur la première ligne à partir de «i, en alternant les signes jusqu'à ce qu'on parvienne à la ligne des éléments cl; on arrivera sur di avec le signe — ; on descend ensuite sur la ligne des éléments d en changeant le signe chaque fois qu'on

traverse une ligne; on tombe de celte manière avec le signe -\- sur </*; donc le mineur de d* doit être affecté du signe positif. Soit encore le déterminant représenté par

an (lit

Cl m Cl2n

Clkl (f'k2

Ctkl

dkn

Ctfil f^n2

et cherchons le signe du mineur relatif à l'élément aui; dans ce but, l'on doit par des échanges de lignes et de colonnes ramener cet élément à la première place ; par l — i échanges de deux colonnes consécutives, rélément aui occupera le premier rang de la /c'^*"^ ligne horizontale ; ensuite par k — i échanges de lignes, cet élément prendra la première place. Toutes ces opérations reviennent à multiplier le déterminant par ( — i)*+î-2 ou ( — 1^+'. Le signe du mineur Aki sera donc positif, si la somme des indices de l'élément aki est paire, et négatif dans le cas contraire. Il est utile d'observer que les premiers mineurs des éléments de la diagonale sont tous positifs.

8. Les développements qui précèdent conduisent à des conséquences importantes que nous allons signaler. 4* Quand tous les éléinents d'une ligne ou, d'une colonne sont nuls, le déterminant est égal à zéro. Ainsi

car tous les termes du développement suivant les éléments de ces lignes s'annulent par la présence du facteur zéro.

2" Quand tous les éléments d'une ligne ou d'une colojine sont nuls excepté l'un deux, l'ordre du déterminant s'abaisse d'une unité. On a, par exemple,

= rt,Ai -\-o . A2-\-o . As = ai

ttj

De même o hi o

as h s Cs

«S hi cj

3** 6^M délerminanl se réduit à son terme principal, quand tous les éléments d'un même côté de la diagonale sont nids. En efTet, pour un déterminant du 4™*' ordre, par exemple, on a successivement

ho o O hs Ci o 64 Ci rf<

= ai/>2

C3 o Ci t^

= axhiddu.

4" Poi^r multip ■ '■' un déterminant par p, il suffit de multiplier les éléments d'une ligne ou d'une colonne par ce facteur. On a :

p . ^ ^=paxkx-\- ph\V,x -\-pCi(^i= pai pbi pci

as bs Cs I

5" Si les éléments de deux lignes ou colonnes ne diffèrent que par un facteur constant, le déterminant est égal à zéro. Car il vient :

I ai ai Cl

az a2 C2

■ as as Cs

ipai ai Cl pa2 «2> C2 pas as Cs G" Si, dans l'un des développements

aïki 4" ^^BI + ciCi -|- ••• -\- /iLi, on remplace les éléments qui s' y trouvent par ceux d'une autre ligne quoiconque, le résultat est nul; il en est de même si, dans l'une des expressions

aiki-{-a2^2'\- asks'\- •" -\-ankn.

on remplace les éléments par ceux d'une autre colonne. En effet, en substituant, par exemple, aux éléments «,, ^i, ... ^, ceux de la seconde ligne «2, ^1, ..., h, l'expression

ft2Ai + 1)2^1 + C2C1 -j- ••• 4" hl'i

représente le déterminant obtenu par cette substitution, les coenicients

Al Bi ... Li étant toujours les mineurs de la première ligne; or, ce déterminant est nul puisqu'il renferme deux lignes identiques.

Avec la notation à deux indices, pour un déterminant de l'ordre n, cetle propriété s'exprime ainsi : Les développements

ajtAii -f- aj2A,2 -1- • • -j- ftjnA.n représentent le déterminant A lorsque j est un no?nbre de la suite I, 2, 3 ... w, et égal à i; tandis que si j est différent de i, ils s'annulent. Pour un déterminant du troisième ordre, on aurait les douze relations

ftaAi -\- &2B, + C2C1 = o, asAj -f ^jB, -\- C3C1 =0;

aiAz -[- b\^2 ~\- CiC.2 = o, ^ft5A2 -\- ?>5B2 -{- C5C2 = o;

ftiAs 4-&1B5 + C1C3 = 0, a2A5-\-b2f'^'^^a^^Ci = 0,

biAi '\-b2A2-\-biA5= o, C1A1-J-C2A2' col'3A6 = o;

a,B| -)- ^2B2 -H a5B3 = o, CiB, -|- C2B2 -^ CsBs = o;

ftiCi -}- doCa -|- asCs ^ o. biCi -\-b^Ca-\-btCs = o.

1" On peut toujours élever l'ordre d'un déterminant sans changer sa valeur. Ainsi, d'après les propriétés précédentes, on a les égalités

fti bi

X fti bi

0 fti b{

y ft2 &2

0 as bi

y t a, bi

0 0 ai bi

z îi ai bi

0 0 a» bi

Aingi de suite. Les éléments x^ y, z, ty u sont des quantités quelconques. O. La formule fondamentale

A = ftiAi -|- &iBi -(-CiC| -^ " liLt permet de remplacer un déterminant de l'ordre n par une expression ne renfermant que des déterminants de l'ordre n — i ; dans cette dernière, on peut substituer à Ai, Bi... des expressions ne renfermant que des déterminants de l'ordre w — 2; en continuant ainsi on arrive finalement à la valeur du déterminant A. Il est nécessaire de donner quelques applications pour indiquer la marche à suivre dans les différents cas qui peuvent se présenter.

Remarquons d'abord que les déterminants du second ordre se calculent immédiatement. On a :

Un bi

= aj)i — r^b^,

Pour un déterminant du troisième ordre dont tous les éléments sont différents de zéro, on prendra, par exemple, la formule

ai hi Cl ai J)-2 C2

«3 bs Cs

On trouve de cette manière :

= ai

bi C2

— ai

bi Cz

3Ci Vi I

Xi IJi I

iPs 2/3 I

-j- Xi

= rt

= œcs' -

ap-

ce' —

2bef.

a — 0 - c I ^jj^a' + b' + c\

Dans les exemples où certains éléments sont nuls, on doit opérer le développement suivant la ligne qui renferme le plus d'éléments nuls. On obtient ainsi :

= bcf-\- ade,

= 2ab cos a, — a' — &^

o a h ai cos a /? cos a I

Il existe des formules plus avantageuses pour calculer les déterminants d'un ordre plus élevé que le troisième, comme on le verra dans ce qui va suivre.

flO. Développement d'un déterminant suivant les éléments de deux lignes ou de deux colonnes. Soit le déterminant de l'ordre n

fts

.. Is

Ci ,

a,i U,i Cn ... i/i

Considérons le terme particulier aibzCidi ... l» de A; à ce terme, en correspond un autre — aihic-jd^ ... l,^ provenant de la permutation des lettres a et b; en les réunissant, il vient :

«I bi

Cidi ... /n.

Laissons a et b fixes, et permutons les lettres c, d. ...l de toutes les manières possibles; les termes de A qui auront en fadeur le drtermin.'ml (ffri^2) seront représentés par

Le coefficient de (a[h2) est donc le second mineur de A obtenu en supprimant les lignes et les colonnes qui renferment ces éléments. On arrive à une conclusion analogue pour les coetficients des déterminants du second ordre

(aiht) {cLibi) ... {aibn)j ((hbs) ... {(In-lbn)

qui résultent des combinaisons deux à deux des éléments des deux premières colonnes de A. En appelant ces seconds mineurs Bi2, Bj:, B^ etc., on trouve le développement suivant :

A=(«i62)Bi2-]-(fi|/>3)B|54--.. + («lM^"« + (f'2?'3)^25+...(rrn-i?>n)B„,n.

Le nombre de termes du second membre est représenté par oî {n — i)

(i . 2 . 3 ... 7^ — 2) = ni

comme cela doit être.

Il importe de remarquer que, dans la formule précédente, il est nécessaire d'attribuer aux seconds mineurs un signe convenable et en rapport avec la valeur de A. En premier lieu, le second mineur B12 doit avoir le signe positif. Afin de fixer le signe des autres, il faut par des échanges de lignes ramener les coefficients du déterminant du second ordre aux deux premières places, en conservant toujours l'ordre des indices. Ainsi, le second mineur Bjj sera négatif, parce qu'il faut un échange de deux lignes pour amener az, />3, à la place de «o, bt; le mineur B25 sera positif; il faut un échange pour amener «2, b2 à la première ligne et un autre pour amener «3, ^5 à la seconde ligne. ^ Ainsi de suite pour les autres.

Développons d'après ces principes le déterminant du 5« ordre

A= rti ^"ï#F^^n9r-=^f Oi

es ^5

«T ht' Ci

a-, bi. cs

bjt'

àL

suivant les éléments des deux premières colonnes. 11 viendra, avec la notation abrégée,

A = (aib-z) {C'od!,e&) — {aibz) (02(^4^5) + (aib^) (02^565) — (ajjs) (cidte^) + (aa&s) (01^465) — («o&O {cidzes) + {a2hs) (cirfse*) 4- (^5^4) (cidiCs) — {aM (01^264)' -{-(a^hs) (cidiCi).

Si, maintenant, nous écrivons verticalement les lignes horizontales de A, en appliquant la même règle, nous aurons le développement de A suivant les éléments des deux premières lignes; ce sera :

A = (adh) (czdi,es) — (ftiC») (^^3^^465) + («1^2^ {bsCtes) — (atCa) {bsCt,ds) -j- (biCi) {asdt,es) — (bid^) (asde^) + (ptOr) {asC^ds) -(- (cid2) (asb^es) — (ctez) (fts&^cïs) + (die2){azbiCs), Le même mode de développement existe relativement à deux lignes ou deux colonnes quelconques; il faudra préalablement les ramener aux deux premiers rangs par des échanges de lignes ou de colonnes et appliquer ensuite la formule.

Le développement qui précède est celui qui convient le mieux pour le calcul d'un déterminant du quatrième ordre, car il ne renfermera que des déterminants du second ordre. On a :

= (aibz) (csdi) — {aiC2) (bidi) -|- («^1^2) (65C4) + (&iC2) (asdi) — (&,rf2) {dzCi) -\- (cidi) (aibi).

an ^bi Ci Soit à calculer

Il viendra

ou bien

A = 14. 33— 30 + 7. 6— 5.6 — 7. 10 + 24= 398. On trouve également

I o I 2 On en déduit aussi les relations suivantes

at bi o o = (ai&2) (csrf*), «2 &2 o o

«3 &5 C3 ds (lit O4 Cj Ct4

ai di bi Cl

«3 ^3 bs Cs

11. Développement d'un déterminant suivant les éléments de p lignes ou de p colonnes. Etant donné le déterminant

ai bx

Ci di

Ci 0

as bs

cs ds

Cl 0

= — (b2Ci)(aids).

es .

.. In

proposons-nous de le développer suivant les éléments des trois premières colonnes. En combinant trois à trois et sans répétition les éléments de ces colonnes, on obtient les déterminants du 3« ordre (ai62Cg), («i^jCi) ... («»&2C„); (fti^jc*), (aibsCs) etc. Cela étant, considérons le terme aibiCid^ei ... In de A et permutons de toutes les manières possibles les indices i, 2, 3, en laissant les autres invariables, nous formerons les six termes du déter-

minant {aihoCs) qui seront multipliés par df,es..,ln. Tous les termes de A qui renfermeront en facteur (rti^2C,) s'obtiendront en permutant les indices 4. 5, 6 ... ?i du produit duGa .../«; ils seront représentés par

(ciibiCi) 2 ± diCi ...In.

La somme désigne ici le mineur de la troisième classe de A provenant de la suppression des trois lignes et des trois colonnes qui ont en commun les éléments du déterminant («i^sfs). H est évident que les coefficients des autres déterminants du 3® ordre (fti^sc*), {aib-cCs) ... seront aussi des mineurs de la 3* classe obtenus de la même manière; en les désignant par B125, B124 ..., il viendra le développement,

A = (aib2C5) B,25 + {aib2Ci) B124 + ••• -]-(ftrt-2&n lC„) Bn 2n ln.

Le nombre de termes du second membre est donné par l'expression

n (n — i) {il — 2) , ,

comme dans le déterminant A.

Enfin, en continuant le môme mode de raisonnement, on arrive à cette conclusion générale : Un déterminmit de l'ordre n peut se développer suivant les éléments de p lignes ou de p colonnes, ce développement renfermant tous les déterminants que Von peut former en groupant p à p et sans répétition les éléments de ces p lignes ou colonnes, accompagnés des mineurs de V ordre n — p correspondants. (Laplace.)

Le nombre de termes que renferme ce développement est représenté par l'expression

Les déterminants qui entrent dans ces diverses formules et dont la somme des ordres est n se nomment déterminants complémentaires.

Dans le développement suivant les p premières colonnes, on doit attribuer le signe -|- au premier mineur de l'ordre n — p\ les autres auront le signe + ou le signe — suivant que l'on peut ramener les éléments des déterminants de l'ordre p aux p premières places par un nombre pair ou impair d'échanges de lignes consécutives.

1^. Il est nécessaire d'indiquer quelques conséquences importantes qui résultent de cette loi de développement. 1" Lorsque, dans un déter-

minant de l'ordre n, les éléments communs à p lir/nes et à n — p colonnes sont nuls, il se réduit à un produit de deux délmnimints dont l'un est de l'ordre p et l'autre de l'ordre n — p. On a, par exemple,

drt

et, en général,

an ai2 ..• ttip o

fh-{-ip+i

^iH'p+« •

ap^iti

,. Op^-n

(fpi

.. apr,

««pf2 .

ann

En effet, dans ce cas, il ne reste que le premier terme ; les autres renferment des déterminants ayant une ligne de zéros pour éléments.

2o Sf, après avoir partagé un déterminant de l'ordre 2n en quatre déterminants de l'ordre n par deux médianes, l'une verticale et l'autre horizontale, tous les éléments de l'un d'eux sont nuls, le déterminant proposé est égal au produit des deux déterminants partiels adjacents à celui. où les éléments sont nuls.

On a

. fe.

at bz

C4 di

«5 ^'5 C5 dt

a% bt C4 rf*

«1 bi Cl 0 0 0

rti bx c,

d'^ Bit fi

a-2 bo C2 000

a-2. ?>2 Ci

d& es fs

Os bi C5 0 0 0

az bs Ci

de Ce fe

fl4 ?>4 e* d:, 6; f-^

(h bs Cs ds en /s

«6 ba Ce rfe ^6 fe

o o o rfi e\ fi

di Cl fi

a.', bi Cl,

o o o ^2 62 fi

di 62 f2

«5 bs Cs

0 0 0 (h 65 fs

ds es /"s

ae be Cq

tti bi, Ci di 6', fn

cis h^ C5 ds es fs

a& be Ce rfe Cg fe

tt(

i décor

nposition correspoi

nd à

— n pour

déterminant de l'ordre

2n, et Ton a aussi : 271 — p = n.

^^Le produit de deux déterminants d'ordre p et q peut toujours se mettre sous la forme d'un déterminant dé l'ordre p -\- q. Par la propriété précédente, on a l'égalité

où les quantités x et y sont quelconques.

Si les déterminants sont de l'ordre n, leur produit sera représenté par un déterminant de l'ordre 2n.

tS. Développement d'un déterminant suivant les éléments de deux

lignes horizontales et verticales qui se reyiconlreyit sur un élément Ur,, Étant donné le déterminant

ttll

fti 2 . .

. «in

ari

ar2 .

. . Urs .

. . «rn

ani

«rv2 .

. Uns . .

. rtnn

le développement suivant les éléments de la r*""« ligne et la 5'^"" colonne qui se coupent sur ara consiste dans la formule

dans laquelle il faut attribuer successivement à i les valeurs i, 2, 3 ...71 excepté la valeur r, et à /c les mêmes valeurs excepté la valeur s; de plus, Ars est le premier mineur de A par rapport à ars, tandis que B,jk est le premier mineur de Ars qui correspond à l'élément auc

En effet, le déterminant A renferme d'abord une somme de termes ayant ars en facteur et représentée par «rsA,*; les autres termes de A ne renferment plus «„, et c'est pour ce motif que, dans 2,^, on exclut pour i la valeur r et pour k la valeur s. Or, un terme de A où ne se trouve pas ttrs doit renfermer un autre élément de la s"*"* ligne verticale, par exemple ttisy et un autre élément de la r**^*"^ ligne horizontale, par exemple r/r*; il contiendra donc atsark multiplié par un certain coefficient; mais, si on échange les colonnes s et k, atsark devient ttraaik, et le coefficient du premier produit sera égal et de signe contraire à celui du second, c'est-àdire — Bjft, Bik étant, comme nous l'avons dit, le premier mineur de Ar» relatif à l'élément aik. Donc la formule précédente est exacte.

Comme application, proposons-nous de développer le déterminant du 4« ordre

ait

suivant les éléments de la première ligne horizontale et verticale qui se rencontrent sur «n. On posera : /'= 5 = i, et la formule deviendra

A=:«|iAh - 2«il«IAB,i.

Dans la somme, on doit attribuer à / et k les valeurs 2, 3, 4, et ron peut opérer comme suit : on donne d'abord à i la valeur 2 et h k les valeurs 2,3,4; ensuite, on fait 2 = 3 et successivement A; = 2, 3,4; enfin, on prend / = 4 et Ton pose encore k = 2, 3, 4. On obtient ainsi la formule développée

En substituant aux mineurs B leurs valeurs prises sur A,,, et en tenant compte de leurs signes, on trouve finalement

A = an

(121 ttU (lu r/52 (hs (t'Sii

(llt2 ^45 lliit^

(liô (lUt

+ (hiai5

«/il «14

Le calcul du déterminant du 4™* ordre est ainsi ramené à un déterminant du 3« ordre et à une série de déterminants du second ordre.

Ce mode de développement est surtout avantageux lorsqu'on vent calculer des déterminants de la forme

«Il «12 Xi

Xi X2 o

«Il «12 «13 X\ «21 «22 «23 X2 «51 «3 2 «3 5 Xi

etc.

Xi x% xi o

que l'on appelle quelquefois déterminants bordés. On opère le développement suivant la dernière ligne horizontale et verticale. Pour calculer le second, par exemple, on devra poserr==5 = 4, et comme «4, = 0, la formule se réduit à

A = — 2«i4«4fcB,ft;

il faut attribuer à z et A; les valeurs i, 2, 3. On trouve ainsi :

A= «l',«',lB(l — «14«42B,2 «14«4»B,3

«24«4lB21 «24«42B22 «24«43B25

«3/(«4iB3| «34«42B52 — «34«45B53,

Or,

et, de plus.

A4/, = ct[ I an fti5

«21 Cti» (I35

ciii (isi as 5 par suite, le déterminant proposé a pour valeur

A = — [x]{a22a55 — «33^^32) -l-a?2 (fin «55 — a^an) -\-x](aiiaii -j- XiX2{a2ias5 — «31^25 -\- a^ass — «saftis) — iPliCs (ct2ict52 — 6^51^22 -|- ciitan — attais) 4-^2^5 (Chifhi — CtsiClii + «11^25 — «21^^15). Si on applique la formule générale au déterminant

«ai«i«)l

par rapport à la première ligne horizontale et verticale, on trouvera

A = dfx^ 4" ^^^y^ 4" ^'^^* — ^.y(V"|~ ^^^) — xz{ad -\- cf) — 1JZ {J>c -\- ne). t4. Développement d'un déterminant en fonction de déterminants à diagonale vide. Soit le déterminant

an ftia ... «In

«ni «n2 • • • ann

Désignons par Ao ce qu'il devient lorsque tous les éléments de la diagonale sont nuls ; on aura

Ao =

O «12 ... «In «21 O ... «2n

On passe évidemment de A à Ao en effaçant les termes qui renferment au moins un élément de la diagonale; les autres termes sont les mêmes de part et d'autre. Cela étant, pour repasser de Ao à A, il est nécessaire d'ajouter les termes qui manquent. Représentons par C, une combinaison i à i des éléments de la diagonale, et A'J~* le mineur de Ao qui lui correspond. La somme des termes h ajouter pour avoir A sera donnée par 2C»A^~* en attribuant successivement à i les valeurs i, 2, 3 ... ?i. Il vient ainsi la formule

A = Ao + IC, Ar • + 2C,Ar^ + • • • 2C„2 A^o + Cn. On n'a pas écrit le terme 2Gn iAJ, parce que AJ = o. On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule combinaison n k n et

Cn = «U«22«33 ."Clnn*

Pour un déterminant du troisième ordre, on aura

Supposons maintenant que l'on ait dans le déterminant A

«Il ==> «22 = «33 = • • «nn = OCy

les combinaisons des éléments de la diagonale formeront les diverses puissances de x, et la formule précédente devient :

A = ^- + x^-^IAl + ic^-^MJ + . • + a?2A^-' + Ao-

Par exemple, on a :

= 0?' — x{ac -\-be-\- df) + ade + hcf.

— « X de

x' + a?2(«« + b' + c^ + (i« + e' + n + {af—be + cd)\

15. Il serait intéressant de trouver une formule donnant le nombre de termes d'un déterminant à diagonale vide. Cette question se résoud en cherchant, pour un déterminant A à diagonale pleine, le nombre de termes qui renferment au moins un élément de la diagonale. D'apn's le développement d un déterminant suivant les éléments d'une ligne, il y a {n — i)l termes ayant l'élément a,, en facteur : c'est le nombre de termes du mineur correspondant; de même, il y a {n — i) ! termes renfermant l'élément «22, et ainsi de suite. Il en résulte que

représentera le nombre de termes contenant au moins un élément de la diagonale; seulement, dans ce nombre, il y a des termes qui se répètent et il est nécessaire de les retrancher. Ce sont d'abord les termes où se trouvent au moins deux éléments de la diagonale. Soit, andji.*., un terme de cette espèce; il se trouve une fois dans (a) parce qu'il renferme «n, et une seconde fois parce qu'il renferme (h2 ; on doit donc retrancher leur nombre de (a) pour qu'il ne s'y trouve qu'une seule fois. Mais ce nombre a pour expression

le premier facteur est le nombre de combinaisons deux à deux des n éléments de la diagonale, et {n — 2) ! représente le nombre de termes du mineur correspondant. Il vient donc cette seconde formule

Il faut encore tenir compte des termes répétés. Un terme de A où se trouvent trois éléments «h, ^22, a^ de la diagonale est compris trois fois dans le premier terme de (a'), et aussi trois fois dans le second à cause des combinaisons deux à deux ftnf^aa» «11^33, «22^33 de ces éléments. Il en résulte que le nombre de termes contenant au moins trois éléments de la diagonale ne se trouvent pas dans (a) et on doit l'y ajouter. Ce nombre étant

Texpreesion (a') devient :

nioi—i, ,. 7ihi — i) (n — 2)

Considérons encore un terme rina2jfl^53^'i4... de A avec quatre éléments

de la diagonale; il est compris quatre fois dans le premier terme de

(a'O, = 6 fois dans le second, et — — == 4 fois dans le troisième;

il s'y trouve donc une fois de trop, et Ton doit retrancher de (a") le

nombre de termes de cette espèce; ce qui donne :

n{7i— i) (yi — 2) (n — 3)

En continuant ainsi on arrivera finalement à l'expression suivante :

^ = n(n - i)! ^ (^2 ! + ... dt-^- \ . i •'

dû. — o!

ou bien

Ce sera le nombre exact de termes du déterminant A renfermant au moins un élément de la diagonale, parce que l'on a tenu compte de tous les termes répétés dans l'expression primitive. Il

Le nombre de termes d'un déterminant de l'ordre n étant n !, en retranchant N de ce nombre, il restera le nombre No de termes d'un déterminant de l'ordre 71 à diagonale vide ; ce sera :

V2! 3!~4! 5!" ~ m J Si n = 3, 4^ 5 etc, on trouve No = 2, 9, 44, etc.

A = (ct,62C3 ... In)

ajoutons aux éléments de la première colonne n — i quantités 7), 7, /• .., comme l'indique le tableau suivant :

bi c, .

ai-['p-,-\-qz-\-r~,-\

b-, Cs .

(In + Pn -\-qn-\-rn-] b„ C„ ... /„

Les éléments de la première colonne du déterminant A' se composent ainsi d'une somme de n termes, et il est facile de montrer que, dans ce cas, A' est décomposable en n déterminants à éléments monômes. En effet, en développant suivant celte colonne, on a :

A' = («1 -^-px -\- q\-\ ) Al -{-{a2-\-p2 + ^2 + •••) A2+ •••

-\-{Cin-\-pn-\-qn-\ ) A„,

Al, As, ... étant toujours les premiers mineurs correspondants aux éléments de la première colonne.

L'égalité précédente peut s'écrire

A' = (rtiA, -\-a2k2-\ l-fi«A„)-l-(jt>iAi -I-P2A2 -f •• -\-Vn^n)-\-

ou bien

ai bi ...

Pi bi ..

qi bi .

JO2 bz ..

an brx ...

Pn bn .

.. In

qn bn

... In

puisque les sommes entre parenthèses ne diffèrent de la première que par la substitution des coefficients p, q, r, .., aux coefficients a. On a donc une somme de n déterminants de même ordre qui ne différent que par les éléments de la première colonne.

Supposons que les quantités/)^ q, r, ... soient respectivement les éléments des colonnes suivantes ; tous ces déterminants, excepté le premier, seront nuls comme renfermant deux colonnes identiques ; le déterminant A reste alors égal à lui-même. De là, cette propriété : Un detennincin l reste invariable, lorsqu'on ajoute aux éléments d'une colonne ou d'une ligne les éléments des autres colonnes ou des autres lignes. H est évident

que cette propriété est égilemcnt vraie, si, au lieu d'ajouter les éléments de toutes les autres lignes, on ajoute seulement les éléments d'une ligne, ou de deux, ou de trois, etc.

Le principe de l'addition des lignes est encore plus général; on peut l'énoncer ainsi : Lorsqu'on ajoute aux éléments d'une ligne respectivement les éléments d'une ou de plusieurs lignes, multipliés par des constantes quelconques positives ou négatives, le déterminant conserve la même valeur.

En effet, soit le déterminant

Ajoutons, par exemple, aux éléments a les éléments b multipliés par àz m ainsi que les éléments c multipliés par ± n; \] viendra :

A' = Ui dr mbi dt nci bi C\ Ui ± mb'î. zb nc2 bi C2 «5 dt mb-, dr nc^ bt Cj

Or, on vient de voir qu'un tel déterminant se décompose en trois autres, savoir :

zb mbi

± 7lCt

àz mbi

zb nc2

± mbs

zb ne 5

les deux derniers étant nuls, comme renfermant deux colonnes qui ne diffèrent que par un facteur constant, on a : A' = A. Il est nécessaire ici, pour abréger, d'employer la notation symbolique

(abc) == 1 at a2 as

bi bi bs

la propriété précédente est alors exprimée par

{a zb mb zb ne, 6, c) = (abe)

et, comme cas particuliers,

(rt -f- mh, b, c) = {ahc), (a, b + ne, c) = (abc),

{a -j- b, b, c) = (abc), ia, J), /> -}- c) = (abc)y

{a-{-b-\-c,b,c) = (abc), (a ~\- b, b, b-{-c) = (abc),

(a — b — c, b, c) = (abc)j (a — b,b,c — b) = (abc).

Par l'application de la règle précédente, on se rendra compte des égalités suivantes :

= 2^abcd.

- a.i -f. h^ -\- c* — 2br — 2ca

c b — r — a b -\- c — a 2ab.