TT .27: . S^T
drsin — » dr sin — > zfc sin — » •••, or sm^ — ;
par suite, il vient
/ .T^N/i.TiX / .w— i7:\/,. m—n:\ F{!/)=A.(,-s,n-j(^,+s.„|..(^,-sm-^-j(^,+sm-^-j,
OU bien
F(,) = A.(^,^ - sin^ - j (^r - sin'- j ... (^,/ - sm.-^ -j.
Ao étant une constante. On peut mettre le second membre sous la forme
.'^ ..TT m— ITT/ y^ \ / .y'
F(7/) = (-i)' Aosin^ sin^ ( i — \''{ i —
I TT / y__\ '
sin
Remarquons que la fonction se réduit à l'unité pour y = o; on doit donc
avoir
, • . TT . 27r .■ m — I TT
( — i) 2 AoSin^— sin^ — ••• sm' = i.
Il en résulte qu'en remplaçant y par sin z^ on obtient la formule
sm* z smm2r = wsm^/ i —
sin-* —
ou, d'une manière abrégée,
sin mz = m sin z
Xsin^ 2r \ / sin* ,r \
k = !2J:i/ sin^zX
\ sm^ — /
Posons maintenant
mz = Xj ou z = — m
on aura
. js *= / m
sm X = 7n sin — 11 2
sin* —
Si on fait croître m indéfiniment, on aura
lim m sin — = lim m — = x, m m
sin— —
lim ; — = lim — = — .
, ki: kn kn
sm — —
Donc, à la limite, quand m est infini, il viendra
c'est-à-dire
La fonction sin x se trouve donc représenté par un produit infini convergent.
On arrive encore au même résultat, lorsque m est un nombre pair. On doit partir de l'équation
sin mz = m sin z cosz .¥{y)
que Ton ramène, comme ci-dessus, à la forme
sin^ — . X X k = -—ii m
sinx= m sin - cos ~ Ht ^ I i
\ sin*
m m "—^ I kn
sin* -
A cause de : lim cos — = i, on obtient encore la même limite.
, ku
Pour arriver a la conclusion qui précède, nous avons admis que l'arc —
est très petit et, dans la recherche de la limite, nous avons remplacé le sinus par l'arc. Or, lorsque m est considérable, il arrive que le nombre A* prend une valeur comparable à celle de m et cette substitution n'est plus rigoureuse. Cependant le résultat est exact. Pour le démontrer, considérons les produits
sin' z
sin^z\ / sin*;2r\ / sin' ^r \
sin* — )\ sin« — / \ sin» — /
dont les premiers facteurs tendent à devenir identiques aussi longtemps que
leur rang n'est pas comparable à m. Ils sont tous deux convergents, car les
séries
sin^ z sin^ z ^^ sin* z .
sin' — sin^ — sin' — m m m
ou bien
/v«Z /Y»fi /v»i
TT* 47:* gîT*
m* sin* ;^ / on^ i m* . i w^
^ sin'— sin^ — sin'' —
sont convergentes. Pour la seconde, c'est évident; pour la première, en se
rappelant que le rapport d'un arc plus petit que -à son sinus est inférieur a ->
les termes de cette suite sont moindres que ceux de la série convergente
La convergence des deux produits entraîne cette conséquence qu'en formant dans chacun d'eux, le produit des facteurs à partir du moment où k devient comparable à m, ces produits partiels auront pour limite l'unité; dans ces conditions, les produits complets ont nécessairement la même limite et l'on a rigoureusement
Après avoir déterminé le développement de sin a?, on obtient immédiatement cos X par la formule
sm 2X
cos X = ; =
2sma;
('-S)0~^)('-^)('-ilr.)
ou bien, après la suppression des facteurs communs
Connaissant sin x et cos x, il est possible de convertir une ligne trigonomctrique quelconque en produit infini convergent. Si on pose successivement
mil 2inn
on trouve
sin
. mn mn 271 — di 2n -\- m ^n — m An -4- m sin — = — • • — • . • « •
2mn 2mn 27i — 27n 2?^ + 2m 4^ — 27n ^n + 2m
d'où on tire
27nn sin
mn 271 2)1 — 2771 271 -\- 27)1 ^71 — 2W 4/i -|- 2m cos = = , • j • •
271 mn 271 — m 271 -f- 7)1 ^71 ^ m ^71 -\- 7n ■
2 sin —
On peut déduire de ces formules quelques relations numériques intéressantes. Par exemple, si on pose dans la dernière
et si on observe que
il vient
cos- = -^3, cos- = -^/'2, cos- = -(i -1-^/5), 6 2*^ ^ 42 54'
T-Li/r 3 7 8 12 13 17
4 6 g II 14 16
Les conséquences du développement de sin x en produit infini sont nom- ^
breuses; nous allons en déduire quelques formules célèbres dans l'analyse.
181. Formule de Wallis Posons dans la formule de sin x. x = - ]
il viendra
=K'-y('-i;)0"i)("~ir^)
ou bien
c'est-à-dire,
Si on resoud cette équation par rapport a- > on trouve
