FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES
lit. Considérons la fraction continue
ai
at
as
ttn
que nous représenterons, pour abréger, par la notation :
I a>t, a>ii (^5, ••• dn» <*n4l, ... |.
Posons :
Pi «r p2 , J ajCta+I
q\ I Ça ct2 di
Pf , I {aitti + i)a5 -{-ai
qt , I O'iCi't -t~ I
ds
Pn . I
— = ai H
as + •
dn
Ces rapports représentent les réduites successives. Il existe entre les quantités ;; et g les relations suivantes :
Pn = jOn-ian + ^n-S, Qn = qn-xdn + Ç»-2» P^qn-i — Çn^n-i = ( I )"♦
Désignons par x la valeur de la fraction continue; si elle est limitée et si elle se termine, par exemple, au quotient a», on a :
Pn Pn-Kdn-^Pn-i
qn qn-\Cin -f" ^n-»
Si elle est illimitée, on peut écrire
a; = ai -|-
Xn représente le ;t"*"'* quotient complet, et l'on a, dans ce cas.
PnXn-\"Pn-.t
qnXn + qn-l
Nous supposerons connues et démontrées ces diverses relations élémentaires; nous allons seulement en déduire quelques conséquences. De la formule
Pn=Pn-ian-\-pn^2,
on tire
Pn ,1 ,1
Pn-l JOn i ftn-i -j »
Pn-2
Pn~i
Pn-%
en continuant, on arrive à l'expression
Pfi-l dn^i -j- •
Admettons que la fraction continue donnée se termine au quotient a^; on voit que, dans le second membre, les quotients incomplets sont écrits dans l'ordre inverse. Cette opération s' aip^eWe renverser une fraction continue.
De même, en partant de l'égalité
on aura aussi
qn II ^=a„-] =an-i j- I
<în l Çn-1 ttn-l + '
' qn-2
et, en répétant l'opération, on trouve finalement
Çn l
= dn
flrx-l +
as-\
Ici, la fraction se termine par ^2, parce que «/o = CI2, qi = i.
On a donc cette proposition : Une fraction continue renversée est égale au quotient du numérateur de la dernière réduite de la proposée par le numérateur de la précédente; de plus, l'avant dernière réduite de la fraction renversée est égale au quotient des dénominateurs des deux dernières réduites de la fraction donnée.
Une fraction continue est dite symétrique, lorsque les quotients incomplets à égale distance des extrêmes sont égaux deux à deux; elle est donc de la forme
qn
tti-j-
ai -f-
aa +
ai
Une telle expression conserve la même valeur, si on la renverse; donc, d'après la proposition précédente, on aura
qn
Pn Pn~\
c'est-à-dire,
qn =Pn-l-
Comme une fraction donnée est développable d'une seule manière en' fraction continue, cette relation aura lieu si la fraction continue qui représente Pn : qn est symétrique et réciproquement. Or, si on substitue cette valeur dans la relation
il vient d'où on tire
Pnqn-l — qnPn-} = ( I ;**»
Pfsqn-\ = ql-\-[— i)"i
ql
= nombre entier.
Donc, si une fraction irréductible pn : qn est développable en fraction continue symétrique, le numérateur p» doit diviser ql -{- i ou ql — i . La réciproque est vraie. En effet, posons
Pn
on aura
Pnq' — ql==±i.
Supposons qu'on développe la fraction pn : qn en fraction continue. On sait, qu'en remplaçant, dans une fraction continue quelconque, le dernier quotient a» par a» — i -[- t> ^^ P^'^' rendre à volonté le nombre de quotients pair ou impair. Rendons ce nombre pair, si pn divise ^* -|" ^» ^* impair, si pn divise ql — I . On pourra écrire
Pnq' — ql = i- jy .
Or. si;în i : q»i est l'avant dernière réduite, on sait que
Pnqn-l — qnPn^l = ( l)",
et, en retranchant ces égalités membre à membre, on trouve
Pn(q' — qn-i) = qn{qn — Pn -l) ;
d'où il résulte que pn doit diviser le second membre; ce qui est impossible, puisque pn est premier avec qn et que la différence qn — Pn-i est inférieure à Pn. Donc, il faut que
q'=qn-\ et qn = pn-i.
Par conséquent, la fraction continue est symétrique. Lorsque le numérateur de la fraction donnée divise le carré du dénominateur plus l'unité, le nombre de quotients incomplets est pair, et s'il divise le carré du dénominateur moins l'unité, ce nombre est impair. Far exemple, étant donnée la fraction fgj, on vérifie que 450 divise 199' — i, et, en la développant en fraction continue, on obtient :
t^^. Une fraction continue illimitée est périodique, lorsqu'un nombre déterminé de quotients se reproduisent indéfiniment dans un ordre constant. Si la période commence à partir du premier quotient, on dit que la fraction continue est périodique simple; s'il existe au commencement un ou plusieurs quotients qui ne se reproduisent pas, on dit que la fraction continue est
périodique mixte. Les propriétés de ces expressions reposent sur le théorème suivant de Lagrange :
Toute racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients commensurables se développe suivant une fraction continue périodique.
Considérons d'abord l'équation
(i) Ax« + 2Bac — C = o,
cil A et C sont entiers et positifs et 2B un nombre entier pair, positif ou négatif. Si le coefficient de x n'était pas pair, il faudrait préablement multiplier réquation par 2. Comme le théorème se rapporte à une racine irrationnelle, B* -\- AC n'est pas un carré parfait. Nous poserons
B»-fAC = F.
L'équation proposée dont le dernier terme est négatif, admet des racines de signes contraires. Développons d'abord la racine positive qui a pour expression
-B + l/B^ + AC — B + i/F
La racine est comprise entre deux nombres entiers consécutifs «1 et ai -[- i ; posons :
x = ai -j •
En substituant dans (i), il Tient l'équation
(2) A,xJ + 264X1 — Cl = o où les coefficients ont pour valeurs :
A, =:C— 2Ba, — AaJ.
(3) B| =: — Aai — B,
On en déduit la relation
(4) b; + A,C, = B» + AC = F.
Le coefficient Ci est entier et positif comme A; le coefficient Ai est également positif; car, la racine positive, placée entre ai et ai + t, est comprise entre ai et 00 ; mais, pour x = 00 , le premier membre de Téquation (i) est positif; donc, pour x = ai, le résultat correspondant sera négatif; comme
Al est ce résultat changé de signe, ce coefficient est nécessairement entier et positif. Enfin, d'après la relation (4), les coefficients Bi et B sont, en valeur absolue, inférieurs à |/F.
Si Ton pose successivement
on arrivera à des équations du second degré jouissant des mêmes propriétés. Arrêtons-nous à celle de rang A, savoir :
XkXk + 2BkXk — Ci = o.
On aura
Afc = Gfc i — 2Bfe iak — Ak,a»,
B/ip == — A»iafc — Bfc i,
Cfc = Afc i,
B*»4-AfcG* = B2+AC = F.
Les coefficients Ak. G^ sont toujours positifs ; de méme^ nous aurons aussi, en valeur absolue, B* <^ [/r; ensuite, à cause de la relation
— kk^tûLk = Bjk -[- Bk i,
il faut, qu'en valeur absolue,
afc<2|/ï, A*,<2^/F, ou Ak<2[/V,
puisque les coefficients B sont inférieurs à |/F. Par conséquent les nombres entiers B*, A*, au sont limités^ et, après avoir pris un certain nombre de valeurs, ils repasseront nécessairement par les valeurs précédentes; donc, la fraction continue qui représente la racine sera périodique. Si, dans la formule,
- Bfc + |/ F
Xk == 1
Ak
on attribue à B* toutes les valeurs entières inférieures à |/f, et à A* toutes les valeurs entières plus petites que 2^^F, le nombre de valeurs de xt sera au plus |XF . 2JXF = 2F. On est donc certain qu'après un nombre d'opérations plus ou moins grand, mais qui ne peut dépasser 2F, on trouvera un quotient déjà obtenu.
Afin d'opérer le développement de la seconde racine qui est négative, on change d'abord a; en — a? et l'on a :
Ax^ — 2Ba; — G = o,
On appliquera à celte équation la méthode précédente pour développer sa racine positive; le résultat, changé de signe, représentera la racine négative de la proposée. Supposons, en second lieu, que l'équation du second degré admette deux racines positives Xi et Xa. Soit x, > Xj; la première racine est comprise entre deux entiers consécutifs ai et «i -f- i et si on pose
a; = ai + ^> on arrivera à une transformée en ^ dont nous désignerons les racines par
Ç' et Ç". On aura
Xi ==»,-[- Ç',
Si on admet que xt et X2 ne se trouvent pas dans le même intervalle, Ç' doit être une quantité positive et 5" une quantité négative, car, X2<Cû^i<C^|' La transformée ayant deux racines de signes contraires rentre dans le cas que l'on vient de considérer. Si les deux racines positives sont situées dans le même intervalle, en posant
la transformée en ?/ admettra deux racines positives plus grandes que l'unité; il peut arriver qu'elles ne soient plus comprises entre deux entiers consécutifs, et on retombe alors dans le cas qui précède. Si elles se trouvent encore dans un même intervalle {5, b -\- i ), on pose
et, ainsi de suite. On arrivera nécessairement à une équation du second degré dont les racines ne seront plus situées entre deux entiers consécutifs, puisqu'autrement, les deux racines se développeraient suivant la même fraction continue et elles seraient égales; ce qui est contre l'hypothèse.
Enfin, si l'équation donnée possède deux racines négatives, en remplaçant X par — X, la transformée admettra deux racines positives.
Le théorème de Lagrange est donc vrai dans tous les cas.
Réciproquement, toute fraction continue périodique peut être regardée comme U7ie racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients commensurables .
En effet, considérons d*abord la fraction périodique simple
X = I tti, tta, ... a„, tti, «2, ..., a„, ftj, «2, ..., a» .... | •
— 3b3 — On peut écrire
Xfi
ou bien,
X= I fti, ttg) •••> C^m Xn I
OÙ x„ désigne le ?i**""'* quotient complet; mais x« représente une fraction continue de même période quela proposée; donc, Xn =■ x. Si p' : q' , p : q sont les réduites de rang n — i et n, on aura
px -\-p'
qx + q'
et, en chassant le dénominateur, il vient l'équation du second degré
qx^ ~f- iq' — p) X — p' ==o
dont le dernier terme est négatif; ses racines sont réelles et de signes contraires; la fraction continue correspond évidemment à la racine positive. Donc, une fraction continue périodique simple est égale à la racine positive d'une équation du second degré à coefficients rationnels dont les racines sont de signe différent.
Soit, en second lieu, une fraction périodique mixte
x= \ f, g, h, ai, aa, ... an, a^, a^, ... a„, ... |
dans laquelle les quotients /, g, h ne font pas partie de la période. Désignons par y la fraction périodique simple qui commence au quatrième quotient. On
aura
x= \ f, g. hy y \ ;
par suite p' : q', p : q étant les réduites correspondant aux quotients g et h, il vient
py + p' Qy + q
De même, on peut faire commencer y après la première période, et écrire
x= \ f, g, hy at, «2, ..., ttn, y \ . Dans ce cas, en désignant par P' : Q', P : Q les réduites relatives aux quotients «n-i et an, il vient aussi
Vy + r
Qy + Q'
En égalant les deux valeurs de y déduites de ces égalités, on arrive à réquation du second degré
où le produit des racines est égal à
S'il n'y avait qu'un seul quotient /"avant la période, on devrait poser :
P = f> q=h P'=^> q' = o et l'expression précédente se réduit à
Ce rapport peut être positif ou négatif. Dans ce cas, l'équation du second degré admettra deux racines de même signe ou deux racines de signes contraires. Mais, s'il existe plusieurs quotients avant la période, la même équation aura toujours des racines de même signe. Pour le démontrer, désignons, par/)" : q" la réduite qui précède jo' : q' et par V : Q" celle qui précède P' : Q'. On a les relations
p = p'h-\-p'\ V = ran + V",
q = q'h-i-q", Q==Q'an+Q",
En substituant ces valeurs dans le rapport (A; , on trouve
/p" P"\ ^,p, (ft-«.) + ("^-pr)
Par hypothèse h est différent de a»; h — an est un entier égal au moins à l'unité, tandis que l'autre partie du numérateur et du dénominateur est fractionnaire, d'après la nature des réduites; par suite,, le rapport qui représente le produit des racines est positif, et ces racines sont de même signe. Donc, une fraction périodique 7nixte n*aya7it qu'un seul quotient avaiil la période est une racine d'une équation du second degré à coefficients rationnels qui peut avoir des racines de même signe, ou de signe différent; tandis que toute autre fraction périodique mixte correspo?id à une racine d'une équation du second degré qui a toujours des racines de même signe.
193. Les périodes des quotients incomplets des fractio7is continues correspondant mix deux racines d'une équation du second degré à coefficients entiers sont inverses l'une de l'autre. Pour le démonirer, considérons le cas d'une équation dont les racines se développent suivant des fractions périodiques simples. En désignant l'une d'elles para?, on a :
qx-^q' ou bien,
p — qx
Soit X\ la seconde racine qui est négative; posons
cette valeur doit vérifier l'égalité précédente; en substituant, on trouve
px' -\- q
Mais, d'après le, renversement d'une fraction continue, nous savons que
- et —se développent suivant des fractions continues composées des mêmes
quotients dans l'ordre inverse, tandis que — est l'avant dernière réduite de
la fraction renversée; donc x' représente une fraction périodique simple où la période est inverse de l'autre.
Cette propriété existe encore lorsque les racines se développent suivant des fractions périodiques mixtes, à la condition de faire commencer la période à un terme convenable, comme nous allons le vérifier dans un exemple.
114. Développons en fractions continues les racines de l'équation
Ces racines sont positives et ont pour valeurs
Développons d'abord la première. Le plus grand carré contenu dans
19 est 4'; par suite, le plus grand entier inférieur à la racine est 3, et il faut poser :
On en déduit
X, = -^— ^ 3(^^^9 + 2) ^ \/j9±2^ y^Tg — i 19 — 4 5 '
Il est visible que x\ est compris entre i et 2. 11 faudra poser
En continuant de cette manière, on trouve successivement :
2 2 iCâ
d'après la première égalité, on a
donc, iP7 = a;i. On retrouve un quotient déjà obtenu, et la période est complète. Il vient ainsi, pour le développement de la première racine x' la fraction périodique
^' = I 3' (I. 3» I» 2, 8, 2), (I, 3, ...) ... I . Développons la seconde racine. Elle est comprise entre o et i ; on posera d'abord
et il viendra la suite des calculs .
1 I Xi
^^9 + 2 ^ , l/^iQ - 4 ^,1
Xt = == 2 H = 2 -^ ;
3 3 Xs
^^^t/i-7+4^3 lA^-4^3^1.
I T Xg
En coraparanl, on trouve X9 = X3; par suite, la fraction continue qui correspond à la racine x" sera :
Afin de vérifier que les périodes sont inverses, on doit commencer la période de cette dernière au huitième quotient et écrire
Comme second exemple, considérons l'équation
3x^ — \ox — 28 = o
dont les racines sont de signes contraires. Le développement des racines seront des fractions périodiques simples ou périodiques mixtes avec un seul quotient avant la période. La racine positive est
En lui appliquant la méthode qui précède, on trouve
La seconde racine est :
5 — |/iô^
j Pour la développer, on change les signes pour qu'elle devienne positive, et on écrit :
Les calculs conduisent à la fraction continue ;
175. Trouver une équation du second degré à coefficients rationnels dont les racines se développent suivant des fractions continues de même période. Désignons par x et x' les racines d'une équation du second degré à coefficients rationnels. Supposons qu'elles se développent suivant des fractions continues ayant un même quotient complet y; on pourra écrire
avec les conditions
pq' ~qp' ==±:i, PQ'-QP' = rbi.
Par l'élimination de ?/, on arrive à une équation de la forme
ÛL X + p OU
a = gP' — q'P, /3 = jo'P — pV\ y = (/Q' - g'(^, (:>' =p'()—p{^'.
Ces égalités conduisent elles-mêmes à la relation
Désignons par — S la somme des racines; on aura x' ;= — S — x; par suite, la relation [k) devient :
ou bien
mais, pour que la somme des racines soit — S, il faut que ,6' = - a, et la relation (A;') donne ensuite
a En vertu de ces relations, l'équation devient :
OÙ il faut regarder S comme une quantité rationnelle quelconque, a comme un entier quelconque et a' comme un diviseur quelconque de «^ dz i. Conformément à son origine, les racines de cette équation se développeront en fractions continues ayant la même période. D'un autre côté, la période de l'une étant inverse de l'autre, cette période sera symétrique ou formée de deux suites symétriques. Ainsi, lorsque les quotients se présentent comme
suit :
la période est simplement symétrique; mais, on peut commencer la période à un terme quelconque et écrire, par exemple,
5> 6, 5 I 3, I, I, 3; elle se compose alors de deux suites symétriques.
170. Développement de V irrationnelle [/ k^ A étant un nombre entier. Soit a la racine carrée du plus grand carré contenu dans A. On pose
On en déduit
h étant un nombre entier égal à A — ^ a*. On pose encore
«1 étant le plus grand entier contenu dans la fraction du premier membre; ainsi de suite.
Afin d'indiquer la nature du développement auquel on arrive de celte manière, observons que [/A est une racine de l'équation
qui admet des racines égales et de signes contraires. Le développement sera une fraction périodique simple, ou une fraction périodique mixte avec un seul terme avant la période. C'est toujours ce dernier cas qui a lieu. En effet, une fraction périodique simple conduit à l'équation
qx^ — [q' — p) X — jo' = o ;
pour qu'elle soit incomplète, il faut que : q' = p; mais alors la relation
pq' — qp' = dc i, se réduit à
p^=:qp' dz I,
et, en divisant par;îg, il vient
q p pq* Le second membre étant plus petit que l'unité, il en résulterait qu'une réduite de |/a serait inférieure à l'unité, ce qui est impossible. Donc, la fraction périodique qui représente \/A est nécessairement mixte avec un quotient avant la période. Le premier terme de cette fraction étant a, la quantité |/A — a sera égale à une fraction périodique simple; il en sera de
même pour^/A-f- a, parce que les quantités |/A-|- a et — ([/^ — ») sont les racines de l'équation à coefficients entiers
x^ — 2ftx -|- {a^ — A) =^ o.
Posons :
\/a -\- a == {2a, Œi, ^2, ... dk-iy 2a, a\, ai ...).
Les quotients incomplets de la fraction continue égale à y A — a se présentent dans l'ordre inverse et l'on aura :
|/a — a=^ o {Œk-i, afc 2, ... (h, 2a, ft/;j, ak^î, ...).
Or, on passe du développement de [Xa -\- a h. celui de [/^A en retranchant a au premier quotient, et du développement de [Xa — a à celui de [/^A en ajoutant a au premier terme. Il en résulte que le développement de |/A est susceptible d'être représenté par l'une ou l'autre des expressions
a{au «2, ... ttk-if 2a), («1, ai, ...)» ••• a{ak-i, ak-2y ... «r, 2a), [ak^x, ak.^, ...), ...
On a donc cette proposition :
L'irrationnelle [/a est égale à une fraction périodique mixte avec un seul
terme avant la période; le dernier quotient de chaque période est ia, a étant la racine du plus grand carré contenu dans |/ A ; les autres ternies de la période à ég:de distance des extrêmes sont égaux deux à deux; ils forment une suite symétrique.
Par exemple, si on développe ^69, la suite des calculs étant :
1 Ju I
ri II X4
II II Xe
on aura :
1/69 = 8(3, 3, I, 4, I, 3, 3, 16), (3, 3, ...) ...; ce qui permet de vérifier la proposition démontrée.
fS^*?. Résolution en nombres entiers de l'équation
X^ — Aî/^ = rb I .
Cette résolution repose sur le développement de \/k en fraction continue. Nous avons vu que le quotient complet de rang n est de la forme
an + i/A
oii an et (3rt sont entiers. On passe au quotient suivant par l'égalité
«n+K^ («n — an3«) + |/A I
= (ln-\ -^ = C^n -f
jS» |3„ x„+,
«n désigne le plus grand entier contenu dans Xn ou la fraction du premier membre. On en déduit :
Xn + 1 = ^ >
avec les relations
CCnJfX = «n — p ttnpn»
A — «n-f l = pnpn+l •
Celles-ci nous montrent que les quantités a qui entrent dans les quotients complets sont inférieures à \/\\ elles peuvent au plus atteindre la valeur a qui représente le plus grand entier contenu dans |/A.
Cela étant, supposons que la période des quotients incomplets se compose de k termes dont le dernier est 2a; pour que le plus grand entier de
«fc
devienne égal à 2a, il faut que ak = a^ (3t = i, et, par suite,
fl^ + pXÂ
Xk = •
D'un autre côté, on sait que la valeur de la fraction continue qui représente [Xk est donnée par
PkXk + Pk-\
En remplaçant Xk par sa valeur, on aura
.X- pk{a-\-[/x)-}-pk-i \/ A = — : »
- ?fc(« + l/ ^^) +îk-l
OU bien,
Égalons séparément à zéro la partie rationnelle ainsi que la quantité qui multiplie y/lï. Il viendra
aqk + qk-\ — pk = o, apk — Aqk -\- Pk-i == o,
et, par l'élimination de a, on trouve
pi — Aql = pkqk-i - qkPk-i:
c'est-à-dire
pl — Aql = (- if.
Il est évident qu'en désignant par p2k '- qzk la réduite qui correspond au dernier terme de la seconde période, on aura aussi
plk-Aqh^{~iy\ et, en général,
Comparons, maintenant, cette équation avec la suivante
X' — Ay^ = I .
Si le nombre k des termes de la période est pair, { — i)*"* est égal à + i , quel que soit p, et les valeurs
x = pfik, y = qfjik seront des solutions entières de l'équation pour toute valeur de [X, Si le nombre k est impair, les mêmes valeurs sont des solutions de l'équation, à la condition d'attribuer seulement à [j. les valeurs paires : 2, 4, 6, etc. Quant à l'équation
if' — Ay^ = — I,
elle ne peut être satisfaite par des nombres entiers, si la période de la fraction continue qui représente [Xa se compose d'un nombre pair de termes. Lorsque ce nombre est impair, les solutions seront fournies par les réduites relatives au dernier terme de la première, de la troisième période, etc. Soit à résoudre l'équation
On a
Les réduites successives ont pour valeurs
Ici k est impair; il faut prendre les dernières réduites des périodes d'ordre pair. Ainsi,
sera une solution de l'équation.
De même, la réduite 18 : 5 donne
comme première solution de l'équation
PRODUITS INFINIS. EXPRESSIONS DE SIN X ET DE CCS X EN PRODUITS INFINIS. FORMULES DE WaLLIS ET DE StIRLING.
118. Avant de nous occuper des produits infinis, il est nécessaire de définir la notion de convergence sur une somme composée d'un nombre illimité de termes, telle que
(s) W| -j- ^2 +i^S -^ \-Un-\-Un + ) -\- ■"■
et que Ton appelle série; les nombres W|, W2, ••• se succèdent d'après une loi déterminée, de telle sorte que, connaissant l'expression du terme général Un. on peut en déduire tous les autres. Posons
la série est dite convergente, si la somme S« tend vers une limite finie et déterminée, lorsque n croît indéfiniment; elle est divergente, lorsque S„ croît au delà de toute limite; enfin, elle est indéterminée, lorsque, sans augmenter indéfiniment, la somme Sp ne tend vers aucune limite déterminée. Nous désignerons toujours par S la valeur d'une série, c'est-à-dire, la valeur limite de Sn, lorsqu'elle existe.
L'exemple le plus simple d'une série convergente est fourni par la somme des termes d'une progression géométrique décroissante. On sait, en effet, que pour r <] I , l'expression
a-^ ar -\- ar^ -| . . . .
a pour limite
Si r > I, la même expression constitue une série divergente. La série générale (s) est aussi convergente, lorsque le rapport d'un terme au précédent, en valeur absolue, a pour limite une quantité k plus petite que Tunilé. En effet, soi! r un nombre compris entre A et i ; pour une valeur de n suffisamment grande, on aura les inégalités
Un Un\.\ Un^2
et les termes
sont alors respectivement inférieurs à
run, r'^Un. r^Un. ...
qui appartiennent à une progression décroissante, puisque r est plus petit que l'unité; leur somme étant convergente, il en doit être de même de la série proposée.
Si k est plus grand que l'unité, il sera possible de choisir une quantité r comprise entre i et k, et pour une valeur convenable de w, Ton aurait :
Un^\ ^ Un^-i ^ Un+i ^
les termes
Un+\y Un+2t Un+i^ ....
seraient ainsi supérieurs à ceux d'une progression géométrique croissante
donc, la série est divergente.
Lorsque /c = i, on ne peut rien conclure. Par exemple, pour les séries
on trouve
lim = lim = lim = i ,
Un n-\- l ,1
,. ^ft+< ,. w* ,. I
lim = lim- — : -= Iim
Un (^+0*
Chacune d'elles peut être convergente ou divergente ; mais, si on groupe les termes comme suit :
dans le premier cas, chaque groupe a une valeur plus grande que |; comme la série se décompose en un nombre indéfini de groupes semblables, elle est nécessairement divergente. Au contraire, pour la seconde série, les diverses parties sont respectivement inférieures aux termes d'une progression par quotient, décroissante et illimitée; donc, il y a convergence.
On voit, par le premier exemple, qu'une série peut croître au delà de toute limite, alors que les termes décroissent de plus en plus et tendent vers zéro. Cette circonstance ne se présente jamais, lorsque les termes sont alternativement positifs et négatifs. Pour le démontrer, considérons une série de cette espèce
OÙ les termes vont en diminuant de plus en plus. Posons :
S2n = {U\ U2) '\'{U^ — Uk)-\- ]r(U2n-\ Uln),
Sj^^, =Ux [U2 — U-i) [U^ M5) ••• {H'in — Î*2n + |).
On passe de S2n à la valeur S de la série, en ajoutant une suite de quantités positives; par suite,
mais, pour passer de San+i à S, on doit retrancher une suite de quantités positives; donc
Comme n est quelconque, on en conclut que la valeur de la série est toujours comprise entre deux sommes consécutives de termes. Or, les sommes d'ordre pair San vont en croissant, tandis que les autres diminuent; de plus, on a ;
lim (S2n+i — S2n) = lim î^2n+i =0;
par conséquent, la limite S est nécessairement finie et déterminée; par suite, la série proposée est convergente.
Citons, en terminant, quelques séries remarquables de l'analyse jouissant de la propriété d'être convergentes. On sait, par la théorie des logarithmes, que
e = lim(i -j- «j* lorsque a tend vers zéro, ou bien
e = lim ( I -| ) >
lorsque m augmente indéfiniment. Cherchons cette dernière limite. On a
m, OU bien,
Le terme général de ce développement est :
i.2...p\ m/ \ mj \ mj \ m /
mais le produit
\ mJ \ mJ \ f>^ )
est visiblement plus petit que l'unité et plus grand que
\m m m j im
si m croît indéfiniment tandis que 'p est constant mais quelconque, la limite de ce produit est nécessairement l'unité. Par conséquent, si on passe à la limite, le développement qui précède se réduit à
C'est une série convergente qui représente la base des logarithmes
népériens.
Posons ^,
m' on aura
et comme a tend vers zéro lorsque m croît indéfiniment, il vient
Si on cherche cette limite comme ci-dessus, on trouve
La série du second membre est convergente quel que soit x\ car, on a
,. Wn+I ,. ^ r / ^ ^
lim —^^ = lim — - — =i lim a; ( — , — ) = o. Un n-\-i \n-\-iJ
Désignons encore par a un nombre positif et par la son logarithme népérien;
on a
a = e^y et ft* = e*^'»;
par suite, il vient
a« = I + xla H- -^(/«r H [laf '\
C'est la série exponentielle générale qui est convergente pour toute valeur de x.
Comparons, enfin, ce développement au suivant :
x{x — i) (ac — 2)
En égalant les coefficients de la première puissance de x, il vient
/a=(a— i)^(a— O^'+^ia— i)« — i (a — i)* -|
Ce qui fait prévoir, en posant :
a = i -\- X, que le développement de l{i -\- x) sera de la forme
Cette dernière série est convergente pour toute valeur de x comprise entre o et i inclusivement. D'après cette formule, on doit conclure que
/ (i -\- x) est inférieur à x et plus grand que x ; donc, en désignant
par 0 une fraction comprise entre zéro et l'unité, on peut poser :
Je
Nous ferons usage de cette égalité dans ce qui va suivre.
IVO. Considérons maintenant un produit infini, c'est-à-dire, un produit composé d'un nombre illimité de facteurs
et posons :
Pf. = U^U'xUi.,. Un.
On dit que le produit P est convergent, si Pn tend vers une limite finie et déterminée, lorsque n augmente indéfiniment; il est divergent, si Pn croît au delà de toute limite avec n\ enfin, si Pn ne tend vers aucune limite, le produit infini est indéterminé.
Si on prend les logarithmes népériens des deux membres, il vient
/p„ = iu^'\-lu%-\- *■' -\- lun ; par suite,
jTji e ' n»
Le produit infini est convergent ou indéterminé en même temps que la série
Quand celle-ci est divergente et a pour limite -f- oo , le produit P est divergent; si elle a pour limite — oo , le produit P converge vers zéro. Si le facteur général w» reste constamment plus grand que l'unité ou plus petit que l'unité quel que soit n, on n'a jamais lim /î^„ = o; la série des logarithmes est toujours divergente et elle tend vers -|- oo ou — oo ; par suite, le produit infini est divergent ou il a pour limite zéro. Il suffit de considérer le cas où lim /w„ = o, c'est-à-dire, lim ît„ = i, et nous supposerons le produit P de la forme
P = (t 4-ai)(l +<^2)(i +«5) ••• (t +a„) (i + an-i-i) ••••
où les quantités a sont quelconques, mais a,, tend vers zéro lorsque n augmente. On aura
^P„ = /(i -|- a,) 4- /(i |- a,) -1 1- l(i -f- an).
Par l'application de la formule
il vient
^P„ = oc, + a,-] [- an — i (0,a? + 0,4 -] h ^nal) .
Soient Qp et 9g la plus petite et la plus grande des fractions 0i, 0» ; l'expression entre parenthèses au second membre sera comprise entre
Op{4 + 4-] h«') et- e,(a; + aîH [-«*),
de sorte qu'en désignant par p une fraction comprise entre { 0p et - Bg nous pouvons écrire
IK = (cci -{- <X2 -\ [- an) — p(a5 -f aj + • • + «*),
ou, d'une manière abrégée
IK = 2(a) — plia') ;
par conséquent, on a, pour le produit infini,
p __ g lim 2(a) — p lim 2(a2)
Lorsque les deux séries 2 (a) et 2 (a^) sont convergentes en même temps, le produit infini a pour limite une quantité déterminée et il est convergent; c'est le cas le plus intéressant et le plus utile. Les autres conclusions à déduire de la formule sont aussi évidentes que la précédente et nous les indiquons dans le tableau suivant :
lim2(a), lim2(a'), Hm P, P
convergent ; convergent ; convergent; divergent; indéterminé ;
A désigne une quantité finie et déterminée. Il serait plus exact de dire que,] dans le dernier cas, le produit parait indéterminé ; il arrive parfois que, par un moyen particulier, on constate qu'il est divergent.
-j-ÛO,
Par l'application de ces règles, on trouve que les produits
sont convergents, ainsi que
ttVV 3'^VV 5'^V
pour toute valeur de x.
Les produits
(i + log 1/2) (i H- log l^J) (I + log 1/^4) ..., sont divergents, et le produit
(-;y(-D'0+rj'(--rj-
est indéterminé. Enfin, les produits
sont convergents, mais ils ont pour limite zéro.
mo. Développement des lignes trigonométriqaes en produits infinis. On sait que, par la formule de Moivre, on a
(cos X -\- \/ — I sin x)"^ = cos mx -|- \/ — i sin mx ;
mais, si on développe le premier membre par la formule du binôme, il vient aussi
(cos X -f- [X — I sin xy m / , . m(m — i)
— iX — r cos"»~' ar sin X cos"*"' x sixr x 4-
En comparant ces relations, on trouve l'égalité
sin mx = m cos*"~ ' x sin x ^^ cos"»~* x sin^ a; + • • • •
Supposons ?n impair; le second membre ne contient que des puissances paires de cos x; en remplaçant cos*iC par i — sin'x. il se changera en un polynôme du degré m en sin x et ne renfermant que les puissances impaires. Si m est pair, on met cos x en facteur et par la même substitution, le polynôme qui multiplie cos x sera du degré m — i avec des puissances impaires de sin x.
Considérons d'abord le cas où w est impair; en remplaçant x par z, on peut poser
sin mz = A| sin z -\- A2 s'in^z -\- A| sin^^r -|- .... le second membre étant du degré m en sin z; les coefficients Ai, A2, A3 ... ont des valeurs déterminées; celle de Ai se trouve en écrivant
sin mz
— : = Al -|- Aa sin^z -U ....
sin 2: '
et en faisant tendre z vers zéro; il vient ainsi
sin wi^r mz
lim— ^ = lim — = m = Al.
sm z z
Par conséquent, nous pouvons poser :
sin mz = m sin z .1^ (y).
F(i/) désigne une fonction entière où la variable y représente siri z; elle est du degré m — i, et, pour y = 0, elle se réduit à l'unité. D'après cette relation, les racines de
seront les racines de l'équation
sin mz = o qui est satisfaite en prenant
kn mz = db /CTT, ou z = àz — •
La formule de résolution de la première équation sera donc
. kn 2/ = db sm — I m
dans laquelle on doit poser
On trouve ainsi les w — i racines
